构造函数法证明导数不等式的八种方法.pdf
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2021-10-04
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构造函数法证明不等式的八种方法
1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合
中的一个难点，也是近几年高考的热点。
2、解题技巧是构造辅助函数， 把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值， 从而
证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。
以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法：
一、移项法构造函数
【例 1】 函数 xxxf )1ln()( ，求证：当 1x 时，恒有
xx
x
)1ln(
1
1
1
分析：此题是双边不等式，其右边直接从函数证明，左边构造函数
1
1
1
)1ln()(
x
xxg ，从其导数入手即可证明。
【解】
1
1
1
1
)(
x
x
x
xf
∴当 01 x 时， 0)(xf ，即 )(xf 在 )0,1(x 上为增函数
当 0x 时， 0)( xf ，即 )(xf 在 ),0(x 上为减函数
故函数 ( )f x 的单调递增区间为 )0,1( ，单调递减区间 ),0(
于 是 函 数 ( )f x 在 ),1( 上 的 最 大 值 为
0)0()(
max
fxf ， 因 此 ， 当
1x
时 ，
0)0()( fxf ，即 0)1ln( xx ∴ xx )1ln( 〔右面得证〕，
现证左面，令 1
1
1
)1ln()(
x
xxg ，
22
)1()1(
1
1
1
)(
x
x
xx
xg则
当
0)(,),0(;0)(,)0,1( xgxxgx 时当时
，
即 )(xg 在 )0,1(x 上为减函数，在 ),0(x 上为增函数，
故函数 )( xg 在 ),1( 上的最小值为
0)0()(
min
gxg ，
∴ 当 1x 时， 0)0()( gxg ，即 01
1
1
)1ln(
x
x
∴
1
1
1)1ln(
x
x ，综上可知，当 xx
x
x )1ln(1
1
1
,1 有时
【警示启迪】 如果 ( )f a 是函数 ( )f x 在区间上的最大 〔小〕值，那么有 ( )f x ( )f a 〔或 ( )f x ( )f a 〕，
那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过 0就可得证．
2、作差法构造函数证明
【例 2】函数 .ln
2
1
)(
2
xxxf 求证：在区间 ),1( 上，函数 )( xf 的图象在函数
3
3
2
)( xxg 的图
象的下方；
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