本讲义主要针对上海高一年级数学下册的三角恒等式的化简与证明以及解三角形的内容。以下为知识点详述：
1. 三角函数的和差公式：
- 正弦的和差公式：sin(α±β) = sinαcosβ±cosαsinβ
- 余弦的和差公式：cos(α±β) = cosαcosβ∓sinαsinβ
- 正切的和差公式：tan(α±β) = (tanα±tanβ)/(1∓tanαtanβ)
2. 二倍角公式：
- sin2α = 2sinαcosα
- cos2α = cos²α – sin²α = 2cos²α – 1 = 1 – 2sin²α
- tg2α = 2tgα / (1 – tg²α)
3. 三倍角公式：
- sin3α = 3sinα – 4sin³α
- cos3α = 4cos³α – 3cosα
4. 半角公式：
- sin²(α/2) = (1 – cosα) / 2
- cos²(α/2) = (1 + cosα) / 2
- tg(α/2) = sinα / (1 + cosα) = (1 – cosα) / sinα
5. 升幂公式和降幂公式：
- 升幂公式：1 + cosα = 2cos²(α/2)
- 降幂公式：sin²α = 1 – cos²α = 2sin²(α/2)
cos²α = cos²(α/2) – sin²(α/2) = 2cos²(α/2) – 1
sinα = 2sin(α/2)cos(α/2)
6. 万能公式（又名tangent half-angle formula）：
- sinα = 2tg(α/2) / (1 + tg²(α/2))
- cosα = 1 – 2tg²(α/2) / (1 + tg²(α/2))
- tgα = 2tg(α/2) / (1 – tg²(α/2))
7. 两角和与差的三角函数公式：
- sin(α + β)sin(α – β) = sin²α – sin²β
- cos(α + β)cos(α – β) = cos²α – sin²β = cos²β – sin²α
- tg(α + β)tg(α – β) = tg²α – tg²β
8. 和差化积公式和积化和差公式：
- 和差化积公式：sinx + siny = 2sin((x + y)/2)cos((x – y)/2)
sinx – siny = 2cos((x + y)/2)sin((x – y)/2)
cosx + cosy = 2cos((x + y)/2)cos((x – y)/2)
cosx – cosy = -2sin((x + y)/2)sin((x – y)/2)
- 积化和差公式：sinxsiny = 1/2[cos(x – y) – cos(x + y)]
cosxcosy = 1/2[cos(x – y) + cos(x + y)]
9. 特殊角度的三角函数值，例如α=0°, 30°, 45°, 60°, 90°等角度的sin, cos, tg值。
10. 正弦定理和余弦定理：
- 正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R（R为外接圆半径）
- 余弦定理：c² = a² + b² – 2abcosC 或 cosC = (a² + b² – c²) / 2ab
11. 三角形面积的计算公式：
- S = 1/2ah (h为高)
- S = 1/2bc sinA = 1/2ca sinB = 1/2ab sinC
- S = 2R²sinAsinBsinC
- S = abc / (4R)
- S = √[p(p – a)(p – b)(p – c)]（海伦公式，p为半周长）
- S = pr（r为内切圆半径）
12. 射影定理，如在△ABC中，b = a cosC + c cosA。
13. 角度大小的比较，例如若A<B，则sinA < sinB。
14. 正弦、余弦、正切在角度和及差的情况下与余弦定理的关系。
15. 积化和差公式及和差化积公式的应用，比如在求值问题中。
16. 通过题目，例如求cos80°cos50°+cos10°cos40°的值，来巩固和应用以上公式。
17. 对于特定条件的α和β，如何使用恒等式解出角度的具体值。
18. 在特定的条件（如角度值和三角函数值已知）下，如何求出三角形的内角大小。
以上知识点涵盖了三角函数的基本恒等式，从基本的和差公式到特殊角的函数值，再到正弦定理和余弦定理的应用，是高中数学中解三角形和三角恒等式证明的重要工具和方法。通过这些知识的掌握，学生能够解决包括证明题目在内的各种三角学问题，并且为将来更高级的数学学习打下坚实的基础。
