视觉正交变换-刘定生老师

### 视觉正交变换——刘定生老师 #### 知识点概览 本章节主要介绍了图像处理中的一种重要工具——正交变换，并重点讨论了其中的小波变换技术。通过对小波变换的基础概念、参数分析及其性质进行深入探讨，为读者提供了全面的理解视角。 #### 小波变换基础 **小波变换**是一种时间-频率分析方法，能够提供信号的时间局部化和频率分辨率。它通过使用一种称为“小波”的函数来分解信号，这些小波具有良好的局部特性，使得小波变换非常适合用于分析非平稳信号。 - **基本小波**：一种具有振荡性和迅速衰减特性的波形。小波变换依赖于选择合适的小波基函数来进行信号的分解。 - **小波基函数**：用于构造小波变换的核心函数，不同的基函数适用于不同类型的数据分析需求。 - **尺度系数(a)**：控制小波的“拉伸”或“压缩”，相当于频率的变化（频率≈1/a）。大尺度对应低频成分，而小尺度对应高频成分。 - **位移系数(b)**：控制小波的位置移动，即在时间轴上的平移操作。 #### 连续小波变换 - **定义**：连续小波变换(CWT)是一种针对连续信号的变换方法，通过调整尺度和平移参数，可以计算信号与小波基函数之间的相关性。 - **逆变换**：通过积分运算可以从小波变换的系数中恢复原始信号，这一过程称为逆连续小波变换。 - **性质**：连续小波变换是线性的，并且具有平移和伸缩的共变性。此外，由于连续小波变换中存在冗余信息，因此从变换系数重构原始信号时，可能会出现多种可能性。 #### 尺度与频率的关系 尺度参数a与频率成反比关系，这意味着： - 当a增大时，对应的小波变得更宽（即尺度更大），这表示它能够捕捉到更慢的变化（低频信息）。 - 当a减小时，小波变得更窄（即尺度更小），能够捕捉到更快的变化（高频信息）。 #### 位移与延迟 位移系数b控制着小波在时间轴上的位置，即对小波进行平移操作。这有助于捕捉信号在不同时间点上的特征。 #### 小波变换系数分布 小波变换系数分布在二维空间内，一维表示尺度a的变化，另一维表示位移b的变化。通过观察系数分布图，可以直观地了解信号的不同特征。 #### 离散小波变换 为了减少计算量并提高实际应用中的可行性，通常会使用离散小波变换(DWT)。离散小波变换通过选择特定的尺度和平移值，将连续变换离散化。这种方法不仅简化了计算，而且仍然保持了足够的分辨率以进行有效的信号分析。 - **离散尺度与位移**：选择特定的尺度和平移值，如尺度按照2^n进行量化，位移按照整数进行量化。 - **多分辨率分析**：离散小波变换可以实现多分辨率分析，即在不同尺度下对信号进行多层次分解，每一层都可以揭示信号的特定特征。 #### 总结 小波变换作为一种强大的信号处理工具，在图像处理领域有着广泛的应用。通过理解小波变换的基础概念、参数调整以及性质，我们可以更好地利用这种技术来解决复杂的图像处理问题。无论是连续还是离散的小波变换，都为信号分析提供了灵活而强大的框架，有助于我们更深入地理解图像中的结构和模式。