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在通信系统中,多径传播的包络一维分布为瑞利分布;当有强路径(或有直达信号)时,包络的一维分布是莱斯分布。在理论推导过程中,都需要用雅各比行列式,实现联合概率密度函数坐标系的转换。典型案例是由同相分量和正交分量的联合概率密度函数求一维包络和相位的联合概率密度函数,本文具体讲解雅各比行列式在概率密度函数坐标系转换中的应用,给出详细的证明过程。
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随机过程联合概率密度函数坐标系转换中的雅各比行列式
及其与重积分坐标转换中雅各比行列式的比较
目录
一、写作初衷.......................................................................................................................................................................................... ....1
二、推导(二维)............................................................................................................................................................................. ..... ..... ....2
方法 1..................................................................................................................................................................................................2
方法 2..................................................................................................................................................................................................7
三、结论.......................................................................................................................................................................................... ..... .....8
四、扩展:随机过程与重积分的比较..............................................................................................................................................................9
一、写作初衷
在通信系统中,多径传播的包络一维分布为瑞利分布;当有强路径(或有直达信号)时,包络的一维分布是
莱斯分布。在理论推导过程中,都需要用雅各比行列式,实现联合概率密度函数坐标系的转换。典型案例是由同
相分量和正交分量的联合概率密度函数求一维包络和相位的联合概率密度函数,本文具体讲解雅各比行列式在概
率密度函数坐标系转换中的应用,给出详细的证明过程。
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二、推导(二维)
题干:给定随机过程的概率密度函数
f
xy
(
x , y
)
,
x
与
y
统计独立,其中:
x=h
(
u , v
)
、
y=g
(
u , v
)
均连续可导,证明:
f
uv
(
u, v
)
=
|
j
|
∙ f
xy
(
x , y
)
,
|
j
|
=
|
∂h
∂u
∂ h
∂ v
∂ g
∂u
∂ g
∂ v
|
。
证明:
方法 1
恒等条件:随机过程落在两个平面对应区域的概率相等,即:
f
uv
(
u , v
)
∙ S
1
=f
xy
(
x , y
)
∙ S
2
2 / 14
图
1
在“u-v”平面上,
u ⊥
v
,如图 1,
A
(
u
0
, v
0
)
、
B
(
u
0
+∆ u , v
0
)
、
C
(
u
0
, v
0
+∆ v
)
、
C
(
u
0
+∆ u , v
0
+∆ v
)
、
D
(
u
0
+∆u , v
0
+∆ v
)
,则矩形
ABCD 的面积
S
1
:
S
1
=
|
AB ×
AC
|
=∆ u ∆ v
由 于
x=h
(
u , v
)
、
y=g
(
z , w
)
的 作 用 , 在 “ x-y” 平 面 上 , 与 矩 形 ABCD 对 应 的 点 为
A
'
(
h
(
u
0
, v
0
)
, g
(
u
0
, v
0
)
)
、
B
'
(
h
(
u
0
+∆ u , v
0
)
, g
(
u
0
+∆u , v
0
)
)
、
C
'
(
h
(
u
0
, v
0
+∆ v
)
, g
(
u
0
, v
0
+∆ v
)
)
、
D
'
(
h
(
u
0
+∆u , v
0
+∆ v
)
, g
(
u
0
+∆ u , v
0
+∆ v
)
)
,与
S
1
对应的面积
S
2
:
S
2
=
|
A ' B
'
×
A
'
C
'
|
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努力学习的小青年
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