概率论与数理统计是数学的一个重要分支，主要研究随机现象的数量规律。在这个领域中，公式扮演着核心角色，帮助我们理解和计算各种概率问题。以下是一些关键概念和公式：
1. 排列与组合公式：
- 排列公式：从m个人中挑出n个人进行排列的可能数为\( P(n,m) = \frac{m!}{(m-n)!} \)。
- 组合公式：从m个人中挑出n个人进行组合的可能数为\( C(n,m) = \frac{m!}{n!(m-n)!} \)。
2. 加法和乘法原理：
- 加法原理：如果一件事可以通过两种或多种方式完成，那么完成它的方法总数是这些方式的和。
- 乘法原理：如果一件事需要连续两个步骤完成，且每个步骤都有多种方法，那么总方法数是各个步骤方法数的乘积。
3. 随机试验与随机事件：
- 随机试验是可以在相同条件下重复进行，但结果无法预知的实验。
- 随机事件是试验可能出现的一种特定结果。
4. 基本事件、样本空间与事件：
- 基本事件是试验的最小单位，样本空间包含了所有可能的基本事件。
- 事件是样本空间中部分基本事件的集合，可以表示为大写字母。
5. 事件的关系与运算：
- 包含关系：如果事件A的全部组成都在事件B中，即\( A \subseteq B \)。
- 并事件：A与B至少有一个发生的事件表示为\( A \cup B \)。
- 差事件：A发生但B不发生的事件表示为\( A - B \)。
- 交事件：A与B同时发生的事件表示为\( A \cap B \)。
- 对立事件：A的逆事件表示为\( A' \)，即A不发生的事件。
- 事件的运算遵循结合律、分配律和德摩根定律。
6. 概率的公理化定义：
- 概率值在0到1之间。
- 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0。
- 可列可加性：互不相容事件的概率之和等于1。
7. 古典概型：
- 样本空间包含n个等可能性的基本事件。
- 事件A的概率是A包含的基本事件数除以基本事件总数。
8. 几何概型：
- 适用于无限不可数且结果可能性均匀的随机试验。
- 事件A的概率与其几何度量（如长度、面积或体积）成比例。
9. 加法公式：
- 两事件A和B的概率和减去它们的交事件概率，即\( P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB) \)。
这些基本概念和公式构成了概率论与数理统计的基础框架，是解决实际问题的关键工具。在数据分析、机器学习、统计推断等领域都有着广泛的应用。通过理解和运用这些公式，我们可以对随机现象进行量化分析，从而做出预测和决策。
