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概率论与数理统计公式（全）

2011-1-1

第 1 章随机事件及其概率

（ 1）排列

组合公式

)!(





从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。

)!(!

nmn





从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。

（ 2）加法

和乘法原

理

加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n

某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n

种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。

乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n

某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由 n

种方法来完成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。

（ 3）一些

常见排列

重复排列和非重复排列（有序）

对立事件（至少有一个）

顺序问题

（ 4）随机

试验和随

机事件

如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，

但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试

验。

试验的可能结果称为随机事件。

（ 5）基本

事件、样本

空间和事

件

在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有

如下性质：

①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；

②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用



来表示。

基本事件的全体，称为试验的样本空间，用



表示。

一个事件就是由



中的部分点（基本事件



）组成的集合。通常用大写字母

A，B，C，

…表示事件，它们是



的子集。



为必然事件，Ø为不可能事件。

不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，

必然事件（Ω）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。

（ 6）事件

的关系与

运算

①关系：

如果事件 A 的组成部分也是事件

的组成部分，（

发生必有事件

发生）：

BA 

如果同时有

BA 

，

AB 

，则称事件

与事件

等价，或称

等于

：

A=B

。

A、B

中至少有一个发生的事件：



，或者

。

属于

而不属于

的部分所构成的事件，称为

A 与 B

的差，记为

A-B

，也可

表示为

A-AB

或者

，它表示

发生而

不发生的事件。

A、B

同时发生：



，或者

。A



B=Ø，则表示 A 与 B 不可能同时发生，

称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。

创创大帝

概率论与数理统计公式（全）

2011-1-1



-A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为

。它表示 A 不发生

的事件。互斥未必对立。

②运算：

结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C

分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)

德摩根率：











11 i

i AA

BABA  

，

BABA  

（ 7）概率

的公理化

定义

设



为样本空间，

为事件，对每一个事件

都有一个实数 P(A)，若满

足下列三个条件：

1° 0≤P(A)≤1，

2° P(Ω) =1

3° 对于两两互不相容的事件

，

，…有























)(

i APAP



常称为可列（完全）可加性。

则称 P(A)为事件

的概率。

（ 8）古典

概型

1°

 





,

，

2°

PPP

)()()(







。

设任一事件

，它是由





组成的，则有

P(A)

 

)()()(

21 m





)()()(

21 m

PPP



 



基本事件总数

所包含的基本事件数A



（ 9）几何

概型

若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空

间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何

概型。对任一事件 A，

)(





。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积）。

（10）加法

公式

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

当 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B)

（11）减法

公式

P(A-B)=P(A)-P(AB)

当 B



A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)

当 A=Ω时，P(

)=1- P(B)

（12）条件

概率

定义设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称

)(

ABP

为事件 A 发生条件下，事

件 B 发生的条件概率，记为

)/( ABP

)(

ABP

。

创创大帝

概率论与数理统计公式（全）

2011-1-1

条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。

例如 P(Ω/B)=1



/A)=1-P(B/A)

（13）乘法

公式

乘法公式：

)/()()( ABPAPABP 

更一般地，对事件 A

，A

，…A

，若 P(A

…A

n-1

)>0，则有

21( AAP

…

)nA )|()|()( 213121 AAAPAAPAP

……

21|( AAAP n

…

)1nA

。

（14）独立

性

①两个事件的独立性

设事件

、

满足

)()()( BPAPABP 

，则称事件

、

是相互独立的。

若事件

、

相互独立，且

0)( AP

，则有

)(

)()(

)(

)|( BP

BPAP

ABP

ABP 

若事件

、

相互独立，则可得到

与

、

与

、

与

也都相互独

立。

必然事件



和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。

Ø与任何事件都互斥。

②多个事件的独立性

设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，

P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)

并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

那么 A、B、C 相互独立。

对于 n 个事件类似。

（15）全概

公式

设事件

nBBB ,,, 21 

满足

1°

nBBB ,,, 21 

两两互不相容，

),,2,1(0)( niBP i 

，

2°



iBA

1



，

则有

)|()()|()()|()()( 2211 nn BAPBPBAPBPBAPBPAP  

。

（16）贝叶

斯公式

设事件

，

，…，

及

满足

1°

，

，…，

两两互不相容，

)(BiP

>0，

i

1，2，…，

，

2°



iBA

1



，

0)( AP

，

则





BAPBP

ABP

)/()(

)/(

，i=1，2，…n。

此公式即为贝叶斯公式。

)(

，（

1i

，

，…，

），通常叫先验概率。

)/( ABP

，（

1i

，

，…，

），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了

“由果朔因”的推断。

（17）伯努

利概型

我们作了

次试验，且满足



每次试验只有两种可能结果，

发生或

不发生；

创创大帝

概率论与数理统计公式（全）

2011-1-1



次试验是重复进行的，即

发生的概率每次均一样；

 每次试验是独立的，即每次试验

发生与否与其他次试验

发生与

否是互不影响的。

这种试验称为伯努利概型，或称为

重伯努利试验。

用

表示每次试验

发生的概率，则

发生的概率为

qp 1

，用

)(kPn

表

示

重伯努利试验中

出现

)0( nkk 

次的概率，

knk

n qpkP



)(

，

nk ,,2,1,0 

。

第二章随机变量及其分布

（1）离散

型随机变

量的分布

律

设离散型随机变量

的可能取值为 X

(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事

件(X=X

)的概率为

P(X=x

)=p

，k=1,2,…，

则称上式为离散型随机变量

的概率分布或分布律。有时也用分布列的形

式给出：



,,,,

)( 21

k ppp

xxx

xXP



。

显然分布律应满足下列条件：

（1）

0kp

，

,2,1k

，（2）







。

（2）连续

型随机变

量的分布

密度

设

)(xF

是随机变量

的分布函数，若存在非负函数

)(xf

，对任意实数

，有







dxxfxF )()(

，

则称

为连续型随机变量。

)(xf

称为

的概率密度函数或密度函数，简称概

率密度。

密度函数具有下面 4 个性质：

1°

0)( xf

。

2°







1)( dxxf

。

（3）离散

与连续型

随机变量

的关系

dxxfdxxXxPxXP )()()( 

积分元

dxxf )(

在连续型随机变量理论中所起的作用与

kk pxXP  )(

在离

散型随机变量理论中所起的作用相类似。

创创大帝

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zfz790825

2023-01-05

这个资源总结的也太全面了吧，内容详实，对我帮助很大。
weixin_55431723

2022-05-07

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weixin_52079935

2022-01-12

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xiring

2021-06-30

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qq_67448674

2023-07-02

这个资源内容超赞，对我来说很有价值，很实用，感谢大佬分享~

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