概率论是统计学和数据分析的基础，它探讨随机现象发生的可能性，并提供了一套数学工具来量化不确定性。以下是对标题和描述中涉及的一些概率公式和概念的详细说明：
1. **随机事件及其概率**：
- **吸收律**：如果事件A包含另一个事件B的所有可能结果，那么P(A|B) = 1，即在B发生的情况下，A必定发生。
- **反演律**：P(A')表示事件A不发生的概率，那么P(A') = 1 - P(A)，即一个事件的概率与它的对立事件的概率之和为1。
2. **概率的定义与计算**：
- **加法公式**：对于任意两个互斥事件A和B（即A和B不能同时发生），P(A ∪ B) = P(A) + P(B)。
- **乘法公式**：如果事件A和B是独立的，那么P(A ∩ B) = P(A) × P(B)。
3. **条件概率**：
- **条件概率公式**：P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)，表示在已知B发生的条件下，A发生的概率。
- **全概率公式**：P(A) = Σ P(A|B_i) × P(B_i)，其中B_i是样本空间的一个划分，满足B_1 ∪ B_2 ∪ ... ∪ B_n = Ω，且B_i 两两互斥。
- **Bayes公式**：P(A|B) = [P(B|A) × P(A)] / P(B)，用于逆向推算条件概率。
4. **随机变量及其分布**：
- **分布函数**：F(x) = P(X ≤ x)，描述随机变量X取值小于或等于x的概率。
- **离散型随机变量**：
- **0-1分布**：只有两种可能的结果，成功（1）和失败（0），概率分别为p和1-p。
- **二项分布**：在n次独立重复试验中，成功概率为p的伯努利试验，得到k次成功的概率。
- **Poisson分布**：表示单位时间内发生k次独立事件的概率，常用于描述稀疏事件。
- **连续型随机变量**：
- **均匀分布**：概率密度函数在整个定义区间内是常数。
- **指数分布**：常用于描述等待时间，如连续无记忆过程。
- **正态分布**：以均值μ和标准差σ为参数，N(μ, σ^2)表示，其中N(0,1)是标准正态分布。
5. **多维随机变量及其分布**：
- **二维随机变量**：有两个随机变量X和Y，它们的联合分布函数、边缘分布函数和边缘密度函数描述了各自和共同的行为。
- **条件分布**：给定其中一个变量的值后，另一个变量的分布。
6. **随机变量的数字特征**：
- **数学期望**：E(X)是随机变量X的平均值，反映了随机变量的平均行为。
- **原点矩和中心矩**：k阶原点矩E(X^k)描述分布形状，k阶中心矩E((X-E(X))^k)是围绕均值的矩，其中方差是二阶中心矩。
- **协方差和相关系数**：Cov(X, Y)衡量X和Y的线性关系，ρ_{X,Y} = Cov(X, Y) / (σ_X × σ_Y)是相关系数，范围在-1到1之间。
这些是概率论中最基础的概念和公式，对于理解和解决统计问题至关重要。在实际应用中，如系统分析、风险评估、数据分析等领域，掌握这些知识能够帮助我们更好地理解和预测随机现象。中心极限定理和数理统计部分虽然没有详述，但同样在统计推断中起到关键作用，例如用样本数据估计总体参数和进行假设检验。如果有更深入的问题，可以通过邮件fish@sjtu.edu.cn与作者交流。
