北航_数值分析_吕淑娟_知识考点总结.pdf

数值分析作为计算机科学与工程学科的基础，主要研究如何通过数值方法解决数学模型问题。吕淑娟教授编写的《北航_数值分析_知识考点总结》文档中涵盖了误差知识与算法知识、向量范数与矩阵范数、以及矩阵分解法等重要知识点。下面将对文档中的关键部分进行详细解读。 误差知识与算法知识是数值分析中极其重要的一环。绝对误差与相对误差是衡量数值计算精度的重要指标。绝对误差指的是近似值与真实值之间的差，而相对误差则是在考虑绝对误差大小的基础上，与真实值的比值。有效数字的概念建立在近似值的表示上，如果一个近似值的绝对误差限小于其某位数字的半个单位，并且从该位数字到第一个非零数字共有n位数字，则该近似值具有n位有效数字。 在进行函数求值时，误差估计同样重要。如果函数具有足够高阶的导数，那么可以通过函数的近似值与高阶导数的大小关系来估计误差。对于多元函数，误差估计的方法则更为复杂，需要考虑偏导数的情况。算法的计算复杂性与数值稳定性紧密相连，好的算法应该具备控制舍入误差传播的能力，避免在加减法中出现的有效数字损失，以及在除法中避免绝对值过小的除数问题。 向量范数与矩阵范数是处理线性代数问题的基础工具。向量范数是定义在向量空间上的实值函数，它满足正定性、齐次性和三角不等式。根据不同的定义，向量范数有很多种形式，常见的包括1-范数、2-范数和无穷范数。矩阵范数则是在矩阵空间上的实值函数，与向量范数相对应，它也需要满足正定性、齐次性和三角不等式。矩阵范数与向量范数的相容性是一个重要概念，指的是存在常数m和M，使得矩阵范数满足与向量范数之间的关系式。矩阵的算子范数是一种特殊的矩阵范数，它与给定的向量范数相容，而单位矩阵I的算子范数则是与向量范数不从属的特殊范数。 矩阵分解法是数值分析中的重要技术，用于解决线性方程组等问题。高斯消去法是最基本的矩阵分解方法之一，包括顺序高斯消去法和列主元素高斯消去法。顺序高斯消去法要求前n-1个主元素不为零，这是方程组可解的必要条件。列主元素高斯消去法则强调在求解过程中选取合适的列主元素，以避免数值计算中出现的不稳定情况。直接三角分解法分为Doolittle分解法和Crout分解法，它们分别将矩阵分解为单位下三角矩阵与上三角矩阵的乘积，以及下三角矩阵与单位上三角矩阵的乘积。在这些分解法中，选取主元是一个关键步骤，它可以通过变换矩阵来减小数值误差，提高数值稳定性。 在数值分析中，对误差的分析、算法的选择与评估、以及矩阵的分解与求解方法构成了核心的研究内容。吕淑娟教授的《数值分析知识考点总结》为我们提供了一个清晰的框架，帮助学生和从业者深入理解和掌握数值分析的关键概念和技术。通过对这些知识点的精通，可以在实际的计算问题中选择最合适的算法，提高计算效率和准确性，从而更好地应用于工程、科学、金融等领域。