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数学建模

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饲料混合加工问题

摘要

近年来，养殖业迅猛发展，对于饲料的需求日益增加，导致饲料混合加工行

业竞争十分激烈。因此，企业都在积极寻求质优价廉高效的饲料配比方案。本文

通过数学模型，就饲料配比加工方案进行优化，给出最优的饲料混合配比方案。

针对问题一，对饲料两两加工原料之间的亲缘关系进行研究。饲料两两加工

原料之间的亲缘关系用两种原料的对应 10 个关键点的基因序列相同个数进行判

断，其表征为亲缘值大小。利用 Matlab 进行编程，获得两两加工原料的亲缘值

表。对两两加工原料亲缘关系利用 IBM SPSS statistics 进行统计分析获得两两加

工原料亲缘关系有 40 种，最大值为 6，最小值为 1，亲缘值范围长度为 5，亲缘

值方差为 2.254，标准偏差为 1.50128，均值为 3.0500。

针对问题二，要求将 16 种加工原料全部放入 9 个加工窖中进行加工，求出

能得出饲料质量最高的混合并给出每个加工包的亲缘度，实际上是一个优化问题。

以加工原料的混合配比方案的亲缘度为优化目标。假设所有加工窖在加工过程中

完全可以正常使用；只考虑亲缘度对混合加工饲料质量的影响；假设只考虑加工

窖的点火成本和加工量成本，其他成本不考虑。建立亲缘度优化目标函数，给出

配比方案的质量系数矩阵 A,在满足加工窖质量上下限约束和特定种类不能单独

混合约束条件下，通过 Matlab 编程，结合蒙特卡洛算法进行优化，得到亲缘度

最大的原料混合配比加工方案，亲缘度的最大值为 50.667。

针对问题三，要求将 16 个加工原料进行混合全部放入 9 个加工窖中，求出

平均效能率超过 80%的加工包数量最多的混合方案并给出每个加工包的效能率，

也是最优问题，优化目标函数为加工包的能耗率最大问题。影响单个加工包效能

率的因素为每个加工窖中的每种加工原料的质量分配。在问题 2 的基础之上结合

题目三所给的约束条件进行求解。利用蒙特卡洛算法进行优化，得到平均能耗效

率超过 0.8 的加工包有 7 个，另外两个加工包的效率也在 0.7-0.8 之间。

针对问题四，从本质上来说，问题 4 属于双目标优化问题，问要求在允许部

分加工窖不生产的情况下，满足成本尽量低，平均效能率超过 80%的加工包尽量

多，取消一次性加工限制，可以多次加工。即在各种约束条件下设计出一个可以

使得成本最小化、平均效能率超过 80%的加工包尽量多的混合方案。建立成本最

低，加工包能耗率大于 0.8 数量尽可能多的目标函数，利用线性加权和法进行双

目标优化，经过优化得线性加权和后的目标函数的最优解为 0.9548，其中成本为

14350 元，效能值大于 0.8 的加工包的数量为 5。

问题五与问题四类似，属于多目标优化问题。经优化得线性加权后得目标函

数得最优解为 0.9091，在此种配比情况下亲缘值为 43，即为质量最好，成本为

14474 元，效能率大于 0.8 的加工包数量为 4。

关键字：统计分析多目标优化模型蒙特卡洛算法线性加权和法

一问题重述

1.1 问题背景

饲料加工厂需要加工一批动物能量饲料。饲料加工需要原料，如加工猪饲料

需要玉米、荞麦、稻谷等。加工厂从不同的产区收购了原料，原料在收购的过程

中由于运输、保鲜以及产品本身属性等原因，存在着效能率的问题（如 1 吨玉米

可加工成 0.7 吨左右的玉米面）。这个数据在原料进厂之后可以通过随机抽样进

行检测得到。

1.2 加工任务

某饲料加工厂有 9 个加工窖，现有一批加工任务，要将 16 个加工原料按照

某种混合方案一次性放入加工窖中进行加工。一个加工窖的混合产品称为一个加

工包。如果某加工原料重量不少于 500 千克，则可以单独成为一个加工包。因产

品属性原因，要求品种代码 10 的加工原料不能单独成为一个加工包。每一个加

工窖能够加工的重量有限定范围。加工窖加工成本由点火成本（也称固定成本）

与加工量成本（也称可变成本）构成，其他成本暂不考虑。

1.3 加工要求

由于加工窖数量低于饲料加工原料的品种数，所以在加工前需要将若干个加

工原料进行混合。为了保证加工后饲料的质量，要求混合的任何两个加工原料之

间必须具有亲缘关系。工厂技术人员对每种加工原料进行了基因检测，得到了

10 个关键位点的基因序列，并规定，两个加工原料如果有 N 个相同位点的基因

序列标记相同，就认为这两个加工原料的亲缘值为 N（如果 N 大于 0，则说明这

两种加工原料之间具有亲缘关系），一个加工包中所有原料两两之间亲缘值的平

均值称为亲缘度。本题仅从亲缘度角度考虑混合加工饲料的质量，亲缘度越高，

饲料质量就越高。

1.4 需要解决的问题

1.请研究 16 个加工原料两两之间的亲缘值，并进行统计性分析。

2.将 16 个加工原料进行混合全部放入 9 个加工窖中。请建立数学模型，求

出饲料质量最高的混合方案并给出每个加工包的亲缘度。

3.将 16 个加工原料进行混合全部放入 9 个加工窖中。请建立数学模型，求

出平均效能率超过 80%的加工包数量最多的混合方案并给出每个加工包的效能

率，并将结果填入表 3。

4.如果饲料加工厂允许部分加工窖不生产，请建立数学模型，给出混合加工

方案，用尽量低的加工成本完成整个加工任务，同时要求平均效能率超过 80%

的加工包尽量的多。

5.如果饲料加工厂允许部分加工窖不生产，但必须完成整个加工任务。请建

立数学模型，给出混合加工方案使得（1）饲料质量尽量高，（2）加工成本尽量

低，（ 3）平均效能率超过 80%的加工包尽量多。

二问题分析

2.1 问题 1 的分析

问题 1 要求研究 16 个加工原料两两之间的亲缘值，并进行统计性分析。因

此，首先根据题目所给亲缘值定义：即两个加工原料如果有 N 个相同位点的基

因序列标记相同，就认为这两个加工原料的亲缘值为 N（如果 N 大于 0，则说明

这两种加工原料之间具有亲缘关系）。由于是两两原料之间，且两元素之间不存

在先后顺序问题，所以利用 matlab 进行编程，筛选出两两加工原料的组合方式，

并计算出两两加工原料之间的亲缘值，然后利用 IBM SPSS Statistics 对数据进行

统计分析。

2.2 问题 2 的分析

问题 2 要求将 16 种加工原料全部放入 9 个加工窖中进行加工，建立数学模

型，求出能得出饲料质量最高的混合并给出每个加工包的亲缘度。显然问题二最

终目标是求取亲缘度最优值问题，并给出饲料质量最高的混合方案（仅从亲缘度

角度考虑混合加工饲料的质量，亲缘度越高，饲料质量就越高）。

将 16 中种加工原料进行混合投放到 9 个加工窖中进行加工，由于每个加工

窖中投放的加工原料组合不同以及每种组合方式的加工原料的重量分配比例也

不确定，因此每个加工窖的加工原料组合具有随机性。因此我们将加工窖中加工

原料混合方案问题看作是蒙特卡洛算法的优化组合方案问题。

在考虑加工原料混合方案时，如何确定每一个加工窖的投放的加工原料的种

类以及各种加工原料的重量占比是本问题的难点。但是，从企业的经营方式和经

营目的来看生产方式必定是符合实际的，生产方案必定追求合理性，因此我们对

于每个加工窖中的加工原料种类限制在 1 到 4 之间。原料种类大于 4 种的不予考

虑，这就极大的简化了问题的复杂程度，并且该简化是合理的，符合企业实际生

产的。同时要求混合方案达到质量最高的同时，还必须使投放的混合原料的重量

在加工窖的加工重量范围上限和下限之间。我们从 9 个加工窖进行着手，通过建

立加工原料重量组合系数矩阵，将每个加工窖的质量范围进行约束，从而建立数

学模型，进行求解。

2.3 问题 3 的分析

问题 3 是将 16 个加工原料进行混合全部放入 9 个加工窖中，求出平均效能

率超过 80%的加工包数量最多的混合方案并给出每个加工包的效能率。显然问题

三同问题二一样属于最优问题，并在约束条件之下寻找加工原料的最优混合方案。

问题中包含 16 种元素，9 个加工窖。假设在加工原料混合方案确定后，将

混合原料投放到 9 个加工窖形成 9 个加工包。则每一个加工包都有一个效能率。

通过对 16 种加工原料相关数据的分析，不难发现，由于加工窖自身没有加工效

率问题，我们默认加工窖的加工效率是 1，对于每个加工包的效能率无影响。同

时每种加工原料的能效率是定值，且不会随着外界条件发生改变。因此，影响单

个加工包效能率的因素为每个加工窖中的每种加工原料的质量分配。在明确影响

因素的前提条件下，建立起优化目标函数，在问题 2 的基础之上结合题目三所给

的约束条件进行求解。利用蒙特卡洛算法进行优化，获得最优解，给出方案配比

完成附表 3。

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内容反馈

小麻侬

2020-09-03

挺不错的，初学建模很有帮助。
weixin_45812148

2020-08-23

内容不错，只不过代码运行不出来结果

weixin_43634578

粉丝: 25
资源: 2

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