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2021-2022年收藏的精品资料高考数学理二轮专项复习专题10 排列组合二项式定理.docx
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专题 10 排列组合二项式定理
排列、组合与二项式定理是高中数学中内容相对独立的一个部分,排列、组合的知识
为概率与统计中的计数问题提供了一定的方法.
这部分内容的试题有一定的综合性与灵活性,要注意与其他数学知识的联系,注意与
实际生活的联系.通过对典型例题的分析,总结思维规律,提高解题能力.
§10-1 排列组合
【知识要点】
1.分类计数原理与分步计数原理.
2.排列与组合.
m
n
m
n
m
n
m
n
A
A
mnm
n
C
mn
n
A
)!(!
!
,
)!(
!
3.组合数的性质:
(1)
mn
n
m
n
CC
;
(2)
1
1
m
n
m
n
m
n
CCC
.
【复习要求】
理解和掌握分类计数与分步计数两个原理.在应用分类计数原理时,要注意“类”与“类”
之间的独立性和等效性,在应用分步计数原理时,要注意“步”与“步”之间的相关性和连续性.
熟练掌握排列数公式和组合数公式,注意题目的结构特征和联系;掌握组合数的两个
性质,并应用于化简、计算和论证.
正确区别排列与组合的异同,体会解计数问题的基本方法,正确处理附加的限制条件.
【例题分析】
例 1 有 3 封信,4 个信筒.
(1)把 3 封信都寄出,有多少种寄信方法?
(2)把 3 封信都寄出,且每个信筒中最多一封信,有多少种寄信方法?
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【分析】(1)分 3 步完成寄出 3 封信的任务:第一步,寄出 1 封信,有 4 种方法;第二
步,再寄出 1 封信,有 4 种方法;第三步,寄出最后 1 封信,有 4 种方法,完成任务.根
据分步计数原理,共有 4×4×4=4
3
=64 种寄信方法.
(2)典型的排列问题,共有
3
4
A
=24 种寄信方法.
例 2 在一块并排 10 垄的田地中,选择 2 垄分别种植 A,B 两种作物,每种作物种植 1
垄,为有利于作物生长,要求 A,B 两种作物的间隔不小于 6 垄,则不同的种植方法共有__
____种.
解:设这 10 垄田地分别为第 1 垄,第 2 垄,…,第 10 垄,要求 A,B 两垄作物的间隔
不少于 6 垄,所以第一步选垄的方式共有(1,8),(1,9),(1,10),(2,9),(2,10),
(3,10)这 6 种选法,第二步种植两种作物共有
2
2
A
=2 种种植法,所以共有 6×2=12 种选垄
种植方法.
【评述】排列组合是解决计数问题的一种重要方法.但要注意,计数问题的基本原理
是分步计数原理和分类计数原理,是最普遍使用的,不要把计数问题等同于排列组合问题.
对某些计数问题,当运用公式很难进行时,适时采取原始的分类枚举方法往往是最好
的.如例 2.
在具体的计数问题的解决过程中,需要决策的是,这个计数问题需要“分步”还是“分类”
完成,再考虑这个计数问题是排列问题、组合问题还是一般的计数问题.如例 1 的两个问
题.
例 3 某电子表以 6 个数字显示时间,例如 09:20:18 表示 9 点 20 分 18 秒.则在 0 点到
10 点之间,此电子表出现 6 个各不相同数字来表示时间的有______次.
【分析】分步来确定电子表中的六个数字如下:
第一步:确定第一个数字,只能为 0,只有 1 种方法;
第二步:确定第三位数字,只能为 0 至 5 中的一个数(又不能与首位相同),所以只有 5
种方法;
第三步:确定第五位数字,也只能为 0 至 5 中的一个数(又不能与首位,第三位相同),
所以只有 4 种方法;
第四步:确定剩下三位数字,0 至 9 共 10 个数字已用了 3 个,剩下的 7 个数字排列在
2,4,6 位共有
3
7
A
种排法.
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由分步计数原理得:1×5×4×
3
7
A
=4200 种.
【评述】做一件事情分多步完成时,我们一般先做限制条件较大的一步,如本题中,
首位受限条件最大,其次为三、五位,所以我们先排首位,再排三、五位,最后排其他位.
例 4 7 个同学站成一排,分别求出符合下列要求的不同排法的种数.
(1)甲站在中间;
(2)甲、乙必须相邻;
(3)甲在乙的左边(但不一定相邻);
(4)甲、乙、丙相邻;
(5)甲、乙、丙两两不相邻;
解:(1)甲站在中间,其余 6 名同学任意排列,故不同排法有
6
6
A
=720.
(2)第一步:先把甲、乙捆绑,视为一个元素,连同其余 5 个人全排列,共有
6
6
A
种排
法;第二步:给甲、乙松绑,有
2
2
A
种排法,此题共有
6
6
A
2
2
A
=1440 种不同排法.
(3)在 7 名同学站成一排的
7
7
A
种排法中,“甲左乙右”与“甲右乙左”的站法是一一对应的,
各占一半,因此甲站在乙的左边(不要求相邻)的不同排法共有
7
7
A
÷2=2520 种.
(4)先把甲、乙、丙视为一个元素,连同其余 4 名同学共 5 个元素的全部排列数有
5
5
A
种,
再结合甲、乙、丙 3 个人之间的不同排列有
3
3
A
种,此题的解为:
5
5
A
3
3
A
=720.
(5)先让除甲、乙、丙外的 4 个人站好,共有
4
4
A
种站法,让甲、乙、丙 3 人插空,由于
4 个人形成 5 个空位,所以甲、乙、丙共有
3
5
A
种站法,此题答案
1440
3
5
4
4
AA
.
【评述】当要求某几个元素排在一起时,我们常将这几个元素捆绑在一起作为一个元
素与其他元素进行排列如例 4(2),(4).
当要求某几个元素不相邻时,我们常常先排其他元素,然后再将这几个元素排在已排
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好的其他元素的空中如例 4(5).
例 5 4 个不同的球,4 个不同的大盒子,把球全部放入盒内,恰有一个盒不放球,共
几种放法?
【分析】先将 4 个球分成 3 组,共有
6
2
4
C
种分组方法;再将 3 组球放在 4 个盒子里,
是排列问题,有
3
4
A
24 种方法,所以,共有
144
3
4
2
4
AC
种不同的放球方法.
【评述】类似这种装球问题采取先分组后装球的方法比较好.
例 6 某班组有 10 名工人,其中 4 名是女工.从这 10 个人中选 3 名代表,其中至少有一
名女工的选法有多少种?
解法 1:至少有一名女工的情形有三类:1 名女工和 2 名男工;2 名女工和 1 名男工;3
名女工,把这 3 类选法加在一起,共有
100
3
4
1
6
2
4
2
6
1
4
CCCCC
种不同的选法.
解法 2:与“至少有一名女工”选法相对立的是“没有女工”的选法,从所有的选法中除去
“没有女工”的选法,剩下的即为所求,共有
100
3
6
3
10
CC
.
【评述】当涉及“至少”或“至多”的问题时,从大的方向看我们常常是对其分类讨论,运
用分类计数原理解决问题,当然,也可以考虑问题的对立面再用减法进行计算.
例 7 如图,用六种不同的颜色给图中的 4 个格子涂色,每个格子涂一种颜色,要求相
邻的两个格子颜色不同,且两端的格子的颜色也不同,则不同的涂色方法共有多少种?
【分析】如果按从左至右的顺序去涂色,当涂到第 4 个格子时会发现,第三个格子的
颜色与第一个格子的颜色是否相同决定着第 4 个格子有几种涂色方法,即如果第三个格子
的颜色与第一个格子的颜色是否相同是不确定的,则第四个格子的涂色情况不定.于是,
我们要按照 1、3 两个格子颜色相同和不相同两种情况分类来处理这个计数问题.
解:1、3 两个格子颜色相同时,按分步计数原理,有 6×5×1×5=150 种方法;
1、3 两个格子颜色不相同时,按分步计数原理,有 6×5×4×4=480 种方法.
所以,共有不同的涂色方法 630 种.
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