图论的基本算法

### 图论的基本算法 #### 二分图 (Is-Bipartite) 二分图是指一个图中的所有顶点可以划分为两个互不相交的集合，使得每一条边的两个端点分别属于这两个不同的集合。换句话说，二分图可以通过两色着色来表示。 **算法原理**： 该算法通过广度优先搜索（BFS）来实现，从图中的一个顶点出发，将其标记为一种颜色，然后遍历其相邻的顶点并标记为另一种颜色。如果在遍历过程中发现相邻顶点已经被标记为相同颜色，则说明该图不是二分图。 **伪代码**： ```plaintext IS-BIPARTITE(g, colors) let queue be new Queue colors[0] = 1 queue.push(0) while queue.empty() == false let v = queue.top() queue.pop() for i equal to every vertex in g if colors[i] == 0 colors[i] = 3 - colors[v] queue.push(i) elseif colors[i] == colors[v] return false end return true ``` **时间复杂度**：\( \Theta(V + E) \)，其中 \( V \) 是顶点的数量，\( E \) 是边的数量。 #### DFS 改良 (DFS-Improve) **算法原理**： 改进后的深度优先搜索（DFS）算法先递归地遍历邻接顶点，然后再处理当前顶点，并将顶点按照访问的逆序存储在一个栈中。这种做法有助于后续问题的解决，例如寻找强连通分量等。 **伪代码**： ```plaintext DFS-IMPROVE(v, visited, stack) visited[v] = true for i equal to every vertex adjacent to v if visited[i] == false DFS-IMPROVE(i, visited, stack) end stack.push(v) ``` **性质**： 对于两个顶点 \( A \) 和 \( B \)，若存在从 \( A \) 到 \( B \) 的路径但不存在从 \( B \) 到 \( A \) 的路径，则从记录的顺序中取出顶点时，一定先取出顶点 \( A \)，再取出顶点 \( B \)。 **证明**： 设两个顶点 \( A \) 和 \( B \)，存在从 \( A \) 到 \( B \) 的路径但不存在从 \( B \) 到 \( A \) 的路径。 - **情况一**：如果先搜索到顶点 \( A \)，根据 DFS 的性质，顶点 \( A \) 在顶点 \( B \) 之前被压入栈中，因此取出顶点时先取 \( A \) 后取 \( B \)。 - **情况二**：如果先搜索到顶点 \( B \)，因为不存在从 \( B \) 到 \( A \) 的路径，所以顶点 \( A \) 会在 \( B \) 之后被压入栈中，故取出顶点时也是先取 \( A \) 后取 \( B \)。 **结论**：对于两个顶点 \( A \) 和 \( B \)，如果存在从 \( A \) 到 \( B \) 的路径但不存在从 \( B \) 到 \( A \) 的路径，则从记录的顺序中取出顶点时，一定先取出顶点 \( A \)，再取出顶点 \( B \)。 #### 欧拉回路 (Eulerian Path and Circuit) **定义**： - **欧拉路径**：一条路径经过图中所有的边，每个边仅通过一次。 - **欧拉回路**：一条欧拉路径且路径的起点和终点是同一顶点。 **算法原理**： 对于无向图，要判断是否存在欧拉路径或回路，需满足以下条件： - 图必须是连通的。 - 所有顶点的度数必须是偶数；如果有两个顶点的度数是奇数，则存在欧拉路径（但不是欧拉回路）。 **伪代码**： ```plaintext EULERIAN-PATH-AND-CIRCUIT(g) if isConnected(g) == false return 0 let odd = 0 for v equal to every vertex in g if v has not even edge odd = odd + 1 end if odd > 2 return 0 if odd == 1 return 1 if odd == 0 return 2 ``` **时间复杂度**：\( \Theta(V + E) \)，其中 \( V \) 是顶点的数量，\( E \) 是边的数量。 #### 拓扑排序 (Topological Sorting) **定义**： 对于有向无环图（DAG），拓扑排序是一种线性排列，使得对于图中的每一条有向边 \( u \rightarrow v \)，都有 \( u \) 在 \( v \) 前面。无向图和含环图无法进行拓扑排序。 **算法原理**： - 选择一个没有前驱的顶点作为起始点。 - 移除这个顶点以及所有以它为起点的边。 - 重复此过程，直到图为空。 **应用**： 拓扑排序常用于任务调度问题，如安排课程先修关系、软件构建依赖等场景。 以上介绍了几种常见的图论基本算法，这些算法不仅在理论研究中有重要地位，在实际应用中也发挥着重要作用。掌握这些算法有助于更好地理解和解决实际问题中的图论问题。