单纯形算法 使用python编程语言通过矩阵运算编程来实现单纯形算法。 1.建立模型后输入数据列出初始单纯形表 将线性规划问题转化为标准型,求minz转化为求max-z 以下图为例 初始化 import numpy as np class Simplex(object): #构造函数(初始化函数) def __init__(self,z,B,bound): self.X_count=len(z) #变量个数 self.b_count=len(bound) #约束条件个数 self.z=z 单纯形算法是线性规划问题的一种经典解决方法,主要用于求解最大化或最小化的线性目标函数,同时满足一系列线性不等式约束。在Python中,我们可以利用numpy库的矩阵运算来实现这一算法。以下是对单纯形算法及其对偶算法在Python中的实现详细解释。 我们需要了解单纯形算法的基本步骤: 1. **模型构建**:根据问题定义建立线性规划模型,将其转换为标准形式,即将最小化问题转换为最大化问题,并确保所有变量非负。在Python中,这涉及到创建目标函数`z`、基础变量`B`和约束条件`bound`。 2. **初始化单纯形表**:根据模型数据创建初始的单纯形表,包含目标函数系数、基变量和非基变量的系数以及右端常数。 ```python class Simplex: def __init__(self, z, B, bound): self.X_count = len(z) # 变量个数 self.b_count = len(bound) # 约束条件个数 self.z = z # 目标函数 self.C = [] # 检验数 self.B = B # 基变量 self.bound = bound # 约束条件 self.flag = 0 # 解的状态标志 self.special = True # 是否为无界解 ``` 3. **最优性检验**:计算所有非基变量的检验数,如果所有检验数都小于零,表示已找到最优解;否则,进入下一步。如果某个检验数大于零,且对应的系数小于零,说明存在无界解。 4. **确定主元素与基变换**:找到最大检验数对应的非基变量作为新的基变量,使用θ规则确定换出的基变量。在Python代码中,`FindMain()`函数负责这个过程。 5. **基变换**:通过基变量的替换(`pivot()`函数)更新单纯形表,使问题继续向最优解方向推进。 6. **迭代检查**:反复执行以上步骤,直至找到最优解或者判断出问题无解或有无穷多解。 对偶单纯形算法是原问题的对称形式,适用于处理极大化问题。它与原问题具有相同的解,但使用了不同的变量和约束。在Python实现中,对偶单纯形算法与原始版本相似,主要区别在于处理目标函数和约束的方式。 对于特殊情况,如无界解的判断,可以在迭代过程中检查是否有非基变量的检验数大于零,且对应系数小于零,此时说明问题存在无界解。在Python代码中,`Check()`函数用于判断解的性质,包括最优解、无解和无穷多解。 整个Python实现中,`Iteration()`函数负责整个迭代过程,`Check()`和`pivot()`函数分别处理迭代结束条件和基变换。通过这样的流程,我们可以用Python的矩阵运算高效地解决线性规划问题。
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