Weyl谱定理是分析谱理论中的一个重要内容，涉及到奇异微分方程边值问题的谱性质。在2006年，有学者对Weyl关于二阶奇异微分方程边值问题谱性质的定理进行了推广和改进。推广后的定理不仅适用于更一般的方程形式，而且提供了更为详细的分析结果。
奇异微分方程边值问题是一类具有重要实际应用背景的数学问题。在物理、工程以及各种科学技术领域，对于描述波传播、振动、热传导等现象的数学模型，往往归结为奇异微分方程。特别地，边值问题涉及到的是在整个定义域上寻找满足微分方程并且满足边界条件的解。
在Weyl谱定理的研究中，通常会遇到两种类型的解：极限点型和极限圆型。极限点型意味着对于方程的一个特定形式，存在某个非实数λ，使得对于任意的解y，有且仅有一个解y满足特定条件（在相差常数倍的意义下）。相对地，极限圆型则是指对于任意的非实数λ，都存在一对解y满足特定条件。
研究者们发现，对于奇异微分方程，可以将其分为这两类，并给出相应的判定定理。在极限点型的情况下，微分方程有且仅有一个解满足特定条件；而在极限圆型的情况下，则对任意的非实数λ都存在一对解满足条件。这些条件通常与解函数在无穷远处的性质有关。
谱定理中还包含了纯点谱和连续谱的充分条件。纯点谱指的是方程的谱只由离散的特征值组成，而连续谱则是指在某段区间内每一点都是方程的谱。
在推广及改进Weyl谱定理的过程中，学者们引入了新的方法和技巧。通过引入加权平方可积函数空间和局部绝对连续函数集合的概念，进一步讨论了微分方程的自伴算子和谱性质。在此基础上，定义了微分算子T和相应的最大算子、最小算子，以及它们的谱。通过研究这些算子的性质，可以揭示出微分方程解的更多特征，为理解和求解微分方程提供了一种强有力的工具。
文章中还提到了正则点的概念，以及它们在谱理论中的重要性。一个复数λ被认为是正则点，如果对应的线性算子（IBλ−）是可逆的，反之则被认为是特征值。这种分类有助于更好地理解谱的性质。
这项研究不仅为奇异微分方程边值问题的研究提供了新的视角和工具，而且在微分算子理论和谱理论的发展上做出了重要的贡献。通过这项研究，学者们能够更准确地描述和预测物理系统的行为，并且为解决实际问题提供了坚实的理论基础。
通过对Weyl谱定理的推广及改进，研究者们在谱理论领域取得了显著的成果，这些成果不仅加深了对奇异微分方程的理解，而且扩展了谱定理的应用范围，为后续的研究工作奠定了坚实的基础。
