### Wilson定理的一个推广
#### 摘要与引言
本文主要介绍了一个关于数论领域内著名Wilson定理的新推广，并对Adelberg的一个同余式进行了进一步的推广。在数论研究中，存在许多著名的同余式，如费马小定理、Wolstenholme定理、Glaisher同余以及库默尔同余等。其中Wilson定理指出：如果\(p\)是奇素数，则有\((p-1)! \equiv -1 (\text{mod } p)\)。
近年来，Adelberg给出了一种广泛的推广形式，在证明普遍库默尔同余中扮演了重要角色。本文将给出一个新的Wilson定理推广，并且这一结果也进一步推广了Adelberg的工作。
#### 主要结果
本节将详细介绍论文中的主要成果及其背景知识。定义标准化的\(p\)-进赋值\(v_p\)，对于任意有理数\(r\)，如果\(p^e | r\)且\(p^{e+1} \nmid r\)，则\(v_p(r) = e\)。为方便陈述我们的主要结果，需要引入以下定义：
**定义2.1** 对于任一有理数\(a\)，定义\((a)_0 := 1\)。对于任何整数\(s\)，定义\((a)_s := a(a + 1)\cdots(a + s - 1)\)，即\(a\)与其后连续\(s-1\)个整数的乘积。显然，我们有\((1)_s = s!\)。
**引理2.1**（Adelberg）设\(l\)和\(q\)为正整数，满足\(v_p(l) = N\)，则有
\[
\frac{((l + q)p)!}{(lp)!} \equiv (-1)^l \cdot \frac{l^q q!}{(l + q)!} \left(\text{mod } p^{N+1}\right).
\]
接下来，给出本文的主要结果，该结果是对Adelberg同余式的进一步推广，同时也是对Wilson定理的推广。
**定理2.1** 设\(a, e, l, q\)为正整数，且\(v_p(l) = N\)，\(m\)为非负整数，则有：
1. **(i)** 对于\([a - 1]_l\)，有
\[
-2mp + 1 \cdot [a - 1]_l \equiv (-1)^l \cdot \frac{[a - 1]_l}{l} \left(\text{mod } p^{N+1}\right).
\]
2. **(ii)** 对于\([a + q - mp]_{p+q-m(m+1)}\)，有
\[
(m p + 1) \cdot [a + q - mp]_{p+q-m(m+1)} \equiv 1 \left(\text{mod } p + q - m(m+1)\right).
\]
3. **(iii)** 若\(a \neq 0\)，则同余式**(ii)**成立\(\left(\text{mod } p^{N+e}\right)\)。
#### 讨论与结论
本节讨论上述推广的意义及可能的应用方向。通过上述推广，我们可以更深入地理解Wilson定理的本质，同时，这些结果也为更广泛的数论问题提供了新的视角和工具。例如，在处理与素数有关的组合问题时，这些推广可以提供有效的计算手段。
此外，考虑到Adelberg的结果在证明普遍库默尔同余中所起的作用，这些新的推广也可能在相关领域的研究中发挥重要作用。特别是在探索更深层次的数论结构和性质方面，这些推广为我们提供了一种新的分析框架。
本文通过对Wilson定理和Adelberg同余式的推广，不仅丰富了数论领域内的理论成果，还为进一步的研究提供了有价值的工具和方向。未来的研究可能会继续深化这些结果，并将其应用于更广泛的数学领域中。
