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第
38
卷第
6
期
2008
年
11
月
吉林大学学报(工学版)
Journal
of
Jilin University (Engineering
and
Technology Edition)
重频结构可控性
姚国凤,高雪飞
(吉林大学机械科学与工程学院,长春
130022)
Vo
l.
38
No.6
Nov.
2008
摘
要:给出了具有可操作的重特征值系统(完备的及亏损的)完全可控性的两个必要条件及
其证明,同时还给出两个充分条件及其证明,并提出了一种控制力分布矩阵
B
的选取方法。
所给出的
4
个定理和一个选择方法解决了任意线性结构的实际可控性问题,指出了结构完全
可控需要的执行器的最小数量及其位置,使得对结构可控有了更清晰的认识。最后用数值算
例说明条件和方法的正确性。
关键词:固体力学;可控性;孤立特征值系统;重特征值系统;状态空间方程
中图分类号
:034
文献标识码
:A
文章编号
:1671-5497(2008)06-1359-07
Controllability of structure with repeated eigenvalues
YAO
Guo-feng
,
GAO
Xue-fei
(Cο
llege
01
儿
1echanical
Science
and
Engineering.
]
ilin
University.
Changchun
130022.
China)
Abstract:
Two
necessary
conditions
of
complete
controllability
of
a
repeated
eigenvalues
system
(regular
and
defective
system)
and
their
proofs
are
given.
At
same
time
two
sufficient
conditions
,
their
proofs
and
a
method
of
selecting
control
force
distribution
matrix
are
also
presented.
In
the
following
sections
,
the
four
theorems
and
one
method
of
selecting
force
distribution
matrix
are
given.
They
solved
practical
controllability
of
any
linear
structures
and
given
the
least
number
and
locations
of
actuators
if
the
structure
is
completely
controllable.
So
that
makes
us
understand
structural
controllability
clearly.
Finally
,
some
numerical
examples
are
given
to
verify
our
theorems
and
method.
Key
words:
solid-state
mechanics;
controllability;
distinct
eigenvalues
system;
repeated
eigenvalues
system;state
space
equat
lO
n
由
Kalman
于
1960
年提出并研究的
[IJ
可控
性与可观性是动态系统的十分重要的结构属
性
[2-3J
在过去的
40
多年中,这些系统属性及其有
关问题不断地被其他学者探究。
一个系统(结构)可以被分类为完备的和亏损
的。如果系统具有完全的特征子空间,称之为完
收稿日期
:2007-12
←
10.
备系统,否则称之为亏损系统。如果系统所有的
特征值都是孤立的,那么系统一定是完备的;对于
这样的系统,如果此时令控制输入的阶数
m=l
,
则当状态空间形式中的控制力分布矩阵
B(
此时
B
为一列向量)不垂直于所有特征向量时,系统是
完全可控的[
4
日。当一个系统具有重特征值的时
基金项目:吉林大学
"985
工程"项目;吉林省科技发展计划项目
(20080540);
国家自然科学基金项目
(59575025).
作者简介:姚国凤(1
962
斗,男,教授,博士生导师.研究方向:振动及振动控制理论,表界面形貌的力学行为分析.
E-mail: yaogf@jlu.edu.cn
• 1360 •
吉林大学学报(工学版)
第
38
卷
候,对单一控制输入而言,系统几乎总是不可控
的。对于孤立特征值系统的控制问题,巳有很多
文献对其进行了讨论口,
6-10J
。但对于具有重特征
值的系统,则没有太多的研究者关注
[11
HI
作者对系统可控性进行了研究,给出了具有
可操作的重特征值系统完全可控性的两个必要条
件及其证明,同时还给出两个充分条件及其证明,
并提出了一种控制力分布矩阵
B
的选取方法。
最后用数值算例说明了条件和方法的正确性。
1
具有重特征值的系统的可控性
1.
1
可控性的两个等价定义山
线性时不变系统的状态方程可表示成
x =
Ax
斗励
4
y
士。
式中:
(1)
(2)
B =
[b
1
b
2
…
b",];
(3)
lx4112J);
U = (U1
Uz
…
Um)T
A E
p/!"x";
yε:
/1
ρλ
I;C
εl
俨
Xn
,B E
?,庐山
上面各式中符号的含义为
:X
为状态向量
;y
为输出向量
;U
为输入力向量
;A
为系统矩阵
;C
为
传感器分布矩阵
,
B
为控制力分布矩阵。
定义
1
系统蚀
,
B)
是完全可控的,当且仅当
可控性矩阵
e =
[BAB
A
2
B … A"
1B]
(4)
的秩为
n
。
定义
2
系统蚀
,
B)
是完全可控的,当且仅当
系统矩阵
A
的每个模态都与控制输入相联系。
1.
2
具有重特征值的系统
机械系统的特征值绝大多数都是孤立特征
值,但偶尔会遇到具有重特征值的系统。重特征
值系统可在具有物理对称性的系统中找到。例如
在圆形薄板振动问题中会出现成对的"径向节点"
模态,即:一个模态中的节点与另一个模态中的反
节点相)致,这种现象的发生是由于节点在角度
方向上不存在特殊固定的缘故,这与在数学
k
的
重特征值特征向量的任意线性组合仍然是特征向
量的事实刚好相符。在这个特殊的例子中,每个
特征值都对应唯一一个线性无关的特征向量,系
统矩阵可以通过由模态向量构成的相似变换转化
为模态坐标系下的对角阵。具有孤立特征值的系
统以及具有重特征值但特征向量系是完全的系统
被称为完备系统。
具有重特征值并且特征向量系是不完全的系
统相对来说较少受到人们的关注,原因可能是由
于系统矩阵不能被相似对角化而导致理论分析相
对复杂。在这种情况下
Jordan
标准型
[15J
是常用
的分析手段。
相应于特征值
λ
i
(表示第
z
个特征值)的独立
特征向量的个数被称为是
λz
的几何重数
ri
ri =
dim(null(A-ÀJ))
(5)
λz
的几何重数还与在
Jordan
标准型中相应
于
Ài
的
Jordan
块数相等。
Ài
的总重数被称为是
Ài
的代数重数,用
ni
表
示,它与在
Jordan
标准型中相应于
λz
的所有
Jordan
块阶数之和相等,即
ni
=
2:
dim
[J
j]
(6)
j~1
这里[J
j]
表示相应于
λa
的第
j
个
Jordan
块,)=
1,…
,ri 0
所有特征值的代数重数之和即为系统的阶
数
n
2:
ni
。
j=l
一个系统是完备的,当且仅当它的每个特征
值
Ài
(i
=
1
,…,。都满足
ri=ni
。一旦某个
Ài
出
现
ni>ri
的情况,那么这个特征值就是亏损的,同
时系统也就称为亏损系统。
最近的研究表明,亏损系统也许并不是非常
罕见的。
Friswell
等人给出了一个亏损系统的例
子[l町,这个例子的模型是由通过两个蒙古性阻尼器
连接在一起的两根梁构成的。而
Mottershead
lJ7J
则发现在与结构交叉响应有关的反共振问题中出
现的非对称特征值可以是亏损的。
1.
3
重特征值完备系统可控性的必要条件
定理l(必要条件)
如果系统状态矩阵
A
是
完备的并且具有
l
个重特征值
λ
i
Ci
=1
,
2
,
…
,l)
,
其中每个
Ài
的代数重数为
ni'
那么要使系统
(A
,
B)
是完全可控的,控制力输入的阶数
m
应当不小
于
max
{ni
: i = 1
,
2
,…,l}。
证明
A
的左、右特征向量矩阵可分别写为
w=
[Wl
…W
n
,
Wn
,
+l
…叽仆
n
2
…
W
n
,
十,..叫:十
l
…
w
,,]l'
(7)
V =
LVJ
…V
n
, V
n
,
+1
…
V
n
忖…
V
n
忖
+l…
v"
J
"1
"}"
"1'''2
"J
"[-1'
L
(8)
并且
A
的特征值矩阵
A
为
A = diag(Àl
...Àn
J
Àn
,
十
l
…
Àn
,
十
"2
…
Àn
J
+..
十叫
:十
l
…
Àn)
(9)
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