第 30 卷 第 2 期
Vol. 30 No. 2
控 制 与 决 策
Control and Decision
2015 年 2 月
Feb. 2015
基于误差最小化的 GM(1,1) 模型背景值优化方法
文章编号: 1001-0920 (2015) 02-0283-06 DOI: 10.13195/j.kzyjc.2013.1808
徐 宁, 党耀国, 丁 松
(南京航空航天大学 经济与管理学院，南京 211100)
摘 要: 背景值是导致 GM(1,1) 模型产生系统误差的主要原因之一. 对此, 提出一种优化的 GM(1,1) 模型构建方法.
首先, 根据 GM(1,1) 模型时间响应式的函数形式, 利用积分中值定理拟合真实背景值, 研究发展系数与背景值之间的
关系; 然后, 构建新的灰色微分方程, 采用最小二乘法进行参数估计, 并利用方程组还原原始参数, 使背景值同时具备
无偏性和最小误差性; 最后, 通过具体案例验证了所提出的优化模型能够突破高增长建模的局限, 对实际问题的建模
精度较高.
关键词: 灰色预测；积分中值定理；背景值；最小二乘
中图分类号: N941.5 文献标志码: A
Optimization method of background value in GM(1,1) model based on
least error
XU Ning, DANG Yao-guo, DING Song
(College of Economics and Management，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 211100,
China．Correspondent：XU Ning，E-mail：xuning@nuaa.edu.cn)
Abstract: The formula of background value is one of the main factors causing systematic error of GM(1,1) model. A
construction method for optimizing GM(1,1) model is proposed. According to structure characteristics of GM(1,1) time
response function, the mean value theorem of integral is used to fit the real background value, and the relationship between
the background value and the development rate is analyzed. Then, a new grey differential equation is constructed, and the
parameter vector is evaluated by using the least square method, and the original parameters are restored by equations system.
The new background satisfies the unbiased property and least error. Finally, a numerical case shows that the proposed
algorithm breaks the confine of modeling high growth sequences, and the application indicates that the optimized model has
an obviously high accuracy in the actual problem.
Keywords: grey prediction；mean value theorem；background value；least square
0 引引引 言言言
灰色预测是灰色系统理论的主要组成部分之一,
GM(1,1) 模型是其中的重要模型, 该模型及其引申出
的模型群解决了大量社会经济中灰因白果的系统预
测问题
[1-2]
. GM(1,1) 模型精度与背景值构造有着密切
关系, 许多学者通过对背景值构造的深入研究提出优
化方法. 文献 [3] 提出了背景值插值优化方法, 其中插
值系数 𝜆 的确定方法采用遗传算法进行寻优求解; 由
于在 GM(1,1) 模型建模过程中存在离散方程和连续
方程之间的过渡, 造成参数估计偏差, 文献 [4] 通过建
立离散 方程避免这一过程导致的 误差; 文献 [5] 认
为 模 型 中 的 背 景 值 在 参 数 估 计 时 应 当 贴 近 区 间
[𝑘 − 1, 𝑘] 之间的积分面积, 才能使参数估计减少偏
差; 文献 [6] 进一步根据背景值几何意义提出修正方
法, 并通过大量数据证明背景值的修正对模型精度具
有明显提升作用; 文献 [7] 基于离散函数的累加性质,
推导出优化背景值的一种方法, 实例表明该优化方法
不但提高了模型精度, 同时突破了发展系数 [−2, 2] 的
局限; 文献 [8] 将背景值优化方法拓展到更一般化的
非等间距 GM(1,1) 模型中, 并根据离散指数的性质推
收稿日期: 2013-12-26；修回日期: 2014-03-24.
基金项目: 国家自 然科学 基金项 目 (71071077, 71371098)；中 央高校 基本科 研业务 费专项 资金项 目 (NC2012001,
NZ2010006, NR2011009, NR2013015)；高校哲学社会科学重点研究基地重大项目 (2012JDXM005).
作者简介: 徐宁 (1983−), 男, 博士生, 从事灰色系统理论、数量经济的研究；党耀国 (1964−), 男, 教授, 博士生导师, 从
事灰色系统理论、数量经济等研究.
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