一 类 干 扰 血 液 模 型 的 Ｈｏｐｆ 分 支
倡
李 娜， 陈斯养
（陕西师范大学数学与信息科学学院，陕西 西安 ７１００６２）
摘 要： 研究了一类具有离散时滞和干扰的血液模型的 Ｈｏｐｙ 分支周期解。 利用函数的单调性，分支
理论及周期函数正交性等方法得到了该模型正平衡态存在唯一的充要条件，分支周期解存在条件和近
似表达式，举出实例且运用 Ｍａｔｌａｂ 绘出了血液模型数值解的拟合图，并分析了参数对周期解的周期，振
幅及正平衡态的影响。
关键词： 干扰血液模型；周期解；时滞；Ｈｏｐｆ 分支
中图分类号： Ｏ１７５畅７ 文献标识码： Ａ 文章编号： １００７ －９７９３（２００９）０５ －００２２ －０７
１ 模型引入
在生态学模型中考虑时滞对生物种群增长的影响极其重要
［６］ ［１２］
，研究时滞产生 Ｈｏｐｆ 分支周期解
问题具有更重要的实际意义
［１０ －１１］
。 １９９７ 年，Ｍａｃｋｅｙ ａｎｄ Ｇｌａｓｓ
［１］
提出了一个血液细胞新陈代谢的数学
模型
ｄｐ（ｔ）
ｄｔ
＝
βθ
ｎ
θ
ｎ
＋ｐ
ｎ
（ｔ －τ）
－δｐ（ｔ）
其中 ｐ（ｔ） 表示血液循环过程中成熟干细胞的密度；τ是骨髓中未成熟干细胞由产生到成为成熟干细胞
所需时间：β，θ，ｎ，δ 都是正参数，利用线性化技巧讨论了该模型正平衡态的局部渐近稳定性。对该模型
做变换 ｐ（ｔ） ＝θｘ（ｔ），α＝
β
θ
可得
ｄｘ（ｔ）
ｄｔ
＝
α
１ ＋ｘ
ｎ
（ｔ －τ）
－δｘ（ｔ）
［１０］讨论了正平衡态的全局吸引性和全体解关于正平衡态的振动性。 本文在［２ －３］［５］的基础上讨论
如下模型
ｄｘ（ｔ）
ｄｔ
＝－ａｘ（ｔ） ＋
ｃｘ
ｍ
（ｔ －τ） ＋ｄ
ｍ
ｘ（ｔ）
１ ＋ｂｘ
ｎ
（ｔ －τ）
（１畅１）
其中 ｘ（ｔ），τ的生态意义如上，ａ，ｂ，ｎ 为正参数，ｃ，ｄ，ｍ 为非负实参数。
注：文献［５］中 δ ＝０ 的情况为系统（１畅１） 中 ｍ ＝１ 的特例；文献［１０］ 的模型为系统（１畅１） 中 ｍ ＝
０ 的特例。
基于生态意义，假设系统（１畅１）满足初始条件
ｘ（ｓ） ＝φ（ｓ） ｓ ∈ ［ －τ，０］ φ∈ Ｃ（［ －τ，０］，Ｒ
＋
） φ（０） ＞０ （１畅２）
本文共分如下三部分：首先证明了正平衡态的稳定性与局部 Ｈｏｐｆ 分支；其次给出近似分支周期解
的近似表达式；最后举出实例，用 Ｍａｔｌａｂ 绘图并对参数对周期解周期，振幅及正平衡态的影响作出分
第 ２９ 卷第 ５ 期
２００９ 年 ９ 月
云南师范大学学报
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｙｕｎｎａｎ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
Ｖｏｌ．２９ Ｎｏ．５
Ｓｅｐ．２００９
倡
收稿日期：２００９ －０３ －１２
基金项目：国家自然科学基金资助项目（６０６７１０６３），国家自然科学基金资助项目（１０８７１１２２）畅
作者简介：李娜（１９８４ －），女，山东省德州市人，硕士研究生，主要从事生态数学方面研究 畅
通讯作者：陈斯养，教授 畅
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