一 类 广 义 血 液 模 型 的 Ｈｏｐｆ 分 支
倡
李翠平， 陈斯养
（陕西师范大学数学与信息科学学院，陕西 西安 ７１００６２）
摘 要： 研究了一类具离散时滞和干扰项的广义血液模型的 Ｈｏｐｆ 分支周期解。 利用函数的单调性，
分支理论及周期函数正交性等方法得到了该模型正平衡态存在唯一的充要条件，分支周期解存在条件
和近似表达式，举出实例且运用 Ｍａｔｌａｂ 绘出了血液模型数值解的拟合图，并分析了参数对周期解的周
期，振幅及正平衡态的影响。
关键词： 广义血液模型；周期解；时滞；Ｈｏｐｆ 分支
中图分类号：Ｏ１７５．７ 文献标识码： Ａ 文章编号： １００７ －９７９３（２００８）０５ －０００１ －０５
１ 模型引入
１９９７ 年，Ｍａｃｋｅｙ ａｎｄ Ｇｌａｓｓ［１］提出了一个血液细胞新陈代谢的数学模型
ｄｐ（ｔ）
ｄｔ
＝
βθ
ｎ
θ
ｎ
＋ｐ（ｔ －τ）
ｎ
－δｐ（ｔ）
其中 ｐ（ｔ） 表示血液循环过程中成熟干细胞的密度；τ是骨髓中未成熟干细胞由产生到成为成熟干细胞
所需时间；β，θ，ｎ，δ 都是正参数，利用线性化技巧讨论了该模型正平衡态的局部渐近稳定性，本文在［１
－５］与［９］的基础上，提出如下模型
ｄｘ（ｔ）
ｄｔ
＝－αｘ（ｔ） ＋
ｃｘ（ｔ －τ） ＋ｄｘ（ｔ）
１ ＋ｂｘ（ｔ －τ）
ｎ
＋αｘ（ｔ －τ）ｅｘｐ［ －βｘ（ｔ －τ）］ （１．１）
其中 ｘ（ｔ），τ的生态意义如下，而 ｅｘｐ［ －βｘ（ｔ －τ）］ 表示血液保干细胞的衰减，ａ，ｂ，ｎ，β为正参数，ｃ，ｄ，α
为非负实参数。 基于生态意义，假设系统（１．１）满足初始条件
ｘ（ｓ） ＝φ（ｓ） ｓ ∈ ［ －τ，０］ φ∈ Ｃ（［ －τ，０］，Ｒ
＋
） φ（０） ＞０ （１．２）
本文共分如下三部分：证明正平衡态的稳定性与局部 Ｈｏｐｆ 分支；给出近似分支周期解的近似表达
式；举出实例，用 Ｍａｔｌａｂ 绘图并对参数对周期解周期，振幅及正平衡态的影响作出分析。
２ 正平衡态的稳定性与局部 Ｈｏｐｆ 分支
引理 ２．１ 模型（１．１）满足初始条件（１．２）的解都是正的。
证明 假设存在 ｔ
１
＞０，使得在［０，ｔ
１
） 上，有 ｘ（ｔ） ＞０，而 ｘ（ｔ
１
） ＝０，则有
ｄｘ（ｔ）
ｄｔ
ｔ ＝ｔ
１
＜０ 而
ｄｘ（ｔ）
ｄｔ
ｔ ＝ｔ
１
＝
ｃｘ（ｔ －τ）
１ ＋ｂｘ（ｔ －τ）
ｎ
＋αｘ（ｔ －τ）ｅｘｐ［ －βｘ（ｔ －τ）］ ＞０
矛盾。 故不存在使得 ｘ（ｔ） ＝０ 的 ｔ，又 ｘ（ｔ） 关于 ｔ 连续可微，所以 ｘ（ｔ） ＞０ 在其定义域上恒成立，引理
得证。
第 ２８ 卷第 ５ 期
２００８ 年 ９ 月
云南师范大学学报
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｙｕｎｎａｎ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
Ｖｏｌ．２８ Ｎｏ．５
Ｓｅｐｔ．２００８
倡
收稿日期：２００８ －０３ －１０
基金项目：国家自然科学基金资助项目（６０６７１０６３），国家自然科学基金资助项目（１００７１０４８）．
作者简介：李翠平（１９８２ －），女，河北省邯郸市人，硕士研究生，主要从事生态数学方面研究．
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