高阶亚纯系数线性微分方程解的增长性* (2004年)

亚纯函数系数线性微分方程解的增长性是指研究亚纯函数作为系数的线性微分方程解的性质。亚纯函数是指在复平面上除了有限个奇点以外处处解析的函数，这些奇点可以是极点也可以是本性奇点。微分方程的解的增长性通常涉及解的增长级、超级等概念，它们是研究解的行为和结构的重要工具。 值分布理论是研究亚纯函数解性质的一个重要方法。在值分布理论中，亚纯函数的增长级σ(f)、零点收敛指数λ(f)和下级μ(f)是用来描述函数增长速度的几个重要指标。增长级σ(f)是指函数增长的阶，零点收敛指数λ(f)表示函数零点的分布速度，而下级μ(f)则是增长级的一个细化，它提供了一个下界估计。 超级是增长性分析中的一个概念，用于描述亚纯函数超过其增长级的程度。具体来说，对于无穷级亚纯函数f(z)，其超级定义为： μ(f) = lim sup (1/r) log log T(r,f), 其中T(r,f)是函数f(z)的特征函数，它与函数f(z)的模的对数成正比。超级描述了函数在无穷远处的增长趋势。 在本文中，研究了具有高阶亚纯函数系数的线性微分方程的解的增长性问题。通过值分布理论的方法，研究了两类高阶亚纯函数系数微分方程的超越亚纯解的增长率，并将整系数方程解的超级的相关结果推广到亚纯系数情况，得到了其解的超级的两个估计。 具体来说，文章提出了两个关键的定理。定理A和定理B分别讨论了两种不同类型的微分方程。定理A考虑的是多项式系数的微分方程，而定理B则涉及整函数系数的微分方程。这些定理中描述了微分方程系数的特定条件，以及如何通过这些条件来估计解的超级。 文章中使用了一些重要的数学符号和概念，例如： - 整函数：在整个复平面上解析的函数，没有奇点。 - 多项式：由变量的有限次幂的和构成的函数。 - 超越亚纯解：不是代数解的亚纯函数解。 - 微分方程的解：满足微分方程的函数。 此外，文章提及了陈宗煌在相关领域的研究成果，他之前的工作为本文的研究提供了一定的理论基础。文章在研究过程中，为了便于分析，引入了闭角域等概念，并对解的增长性进行了估计。 这篇文章的结论对于深入理解亚纯系数线性微分方程的解的性质有重要意义。通过这些理论的推广和应用，可以更深入地研究与亚纯函数相关的微分方程，为解决数学物理中的一些复变函数问题提供理论支持。同时，这些研究成果也能够应用到其他科学和工程领域中，为解决相关领域的问题提供数学工具。