第
37
卷第
2
期
2012
年
2
月
武汉大学学报·信息科学版
Geomatics and
Information
Science of
Wuhan
University
Vo
l.
37
No.2
Feb. 2012
文章编号
:1671-8860(2012)02-0174-04
文献标志码
:A
修正的
Gram-Schmidt
正交化广义逆平差方法
罗三明
I
薄万举
l
黄曲红
2
王西宁
2
cl
中国地展局第一监测中心，天津市耐火路
7
号，
300180)
(2
国家测绘局第-大地测量队，西安市测绘路
4
号，
710054)
摘
要:直接从条件方程或误差方程系数阵入手，利用修正的
Gram-Schmidt
正交化过程对系数阵进行三角分
解，实现最小二来求解，导出了基于修正的
Gram-Schmidt
正交化过程求解系数阵广义逆的数学公式和计算步
骤，给出了通过广义逆表示的未知数解向量及其协因数阵的数学表达式。计算过程不仅避免了对矩阵的求
逆，并从理论上解决了
Gram-Schmidt
正交化方法由于舍入误差的影响表现出的数值不稳定性问题，从而很好
地解决了具有秩亏系数阵方程纽解的不唯一性。算例结果表明，基于修正的
Gram-Schmidt
正交化方法可以
处理包括秩亏阵在内的任意矩阵;在处理不设起算数据的变形监测网观坝
IJ
数据时，能够方便地获得其经典解、
伪逆解或拟稳解，而不需要重复计算。
关键词:修正的
Gram-Schmidt
正交化;线性方程组;秩亏系数阵;广义逆;最小二来极小范数解
中图法分类号
:P207
在间接平差法中，对所选取的未知数要求函
数独立，误差方程的系数阵需要是列满秩阵，由此
组成的法方程才可求得未知数的唯一解。但在如
变形监测网等这类不需要必要起算数据的平差问
题中，所选的未知数虽然是函数独立的，但误差方
程的系数阵不是列满秩阵，据此组成的法方程系
数阵是奇异阵或秩亏阵，因而法方程式是相容方
程组，其解不唯一。
为了改变这类平差问题法方程的奇异性，使
其解具有唯一性，许多学者对这类平差问题进行
了深入研究。
4J
如假定一组起算数据的"假观测
值"、"附加条件"法等。前者的解会因起算数据位
置的不同而不同;后者在自由网平差中每次只能
得到一种自由网解。然而，在大地形变测量中，由
于事先很难知道什么样的解是较为合理的解，因
而需要在一组解中通过分析判断找出一组合适的
解，这就要进行多次重复的平差计算。采用广义
逆矩阵则可以较为灵活地获得各种解，如形变监
测自由网的伪逆解[町、部分极小范数最小二乘
解
[6J
、拟稳解、外坐标解以及模型基准解
[7J
。本文
收稿日期
:2011-12-15
0
在众多学者研究的基础上提出通过
Moore-Pen
rose
广义逆(伪逆
)N
斗，采用修正的
Gram
Schmidt
正交化过程，直接从条件方程或误差方
程系数阵入手，通过矩阵的三角分解完成网的平
差计算，获得网的最小二乘解。
1
Gram-Schmidt
正交化过程
设有如下线性方程组:
A x b
(1)
其中
，
A
的元素为向
;X
为待求的
n
维向量
;
h
为
已知的
m
维向量。用
Gram-Schmidt
正交化过程
求解方程组(1)的解
X
，
先将此过程用于矩阵
A
的
各列
a
j
，
得到一个列正交的同维矩阵
S
，步骤如
下。
1)将
a]
归一化，作为
s
的第一列
Sj
:
Sj
aj/rll
，
rll
而
T
•
aj
2)
对于走
=2
，
3
，…
，
m
，
按下列公式求出
s
的
第
h
列
Sk:
Sk
=
α/
阳
，
rkk
J
cJ
• Ck
项目来源:地震行业科研专项重大资助项目
(200908029):
国家测绘局科技创新资助项目
(2007-0
1)
:中国地震局第二监测中心青年
基金联合资助项目
(20090
1)。
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