根据提供的文件信息，以下是对文件中提到的知识点的详细介绍：
1. Fitzhugh-Nagumo方程的背景与应用
Fitzhugh-Nagumo方程是一种简化的反应扩散方程，它在电路理论、生物学以及种群遗传学中有着重要的应用。该方程由生理学家Richard FitzHugh和数学家J. Nagumo在20世纪60年代为模拟神经动作电位而提出，并进一步被Hodgkin发展。Fitzhugh-Nagumo模型可以被看作是Hodgkin-Huxley模型的一个简化版本，其形式较为简洁，但仍然能够捕捉到神经脉冲传输的主要特征。它通常用于描述电压变化与离子通道动态的关系，并在神经科学领域被广泛研究。
2. 简化Fitzhugh-Nagumo方程的数学描述
简化Fitzhugh-Nagumo方程通常表示为一个关于u的方程ut=uxx+f(u)，其中函数f(u)=u(a-u)(u-1)，参数a的范围是0 < a ≤ 1/2。这个方程是在研究某些特殊的电路模型时，结合Huxley方程提出的。在文献中，人们已经对0 < a ≤ 1/2时的部分相图方程进行了详细的研究，并在参数a=1时，对简方程进行了相平面分析并得到了全局相图。
3. 行波解和孤波
近年来，人们开始关注Fitzhugh-Nagumo方程的行波解和孤波解。行波解是指波形随时间演化不变，但以恒定速度传播的解，而孤波解是一种特殊的行波解，它在传播过程中保持波形不变。文献中提到，康东升利用待定系数法得到了一些显示的行波解和波前解。
4. 线性近似理论和拓扑结构的不变性
为了得到简化Fitzhugh-Nagumo方程对应的二维系统有限奇点的性质，文中应用了线性近似理论和拓扑结构的不变性。线性近似理论允许我们通过线性化非线性系统，在某一点附近近似地分析系统的局部行为。而拓扑结构的不变性指的是，在连续变换下，系统某些性质是保持不变的，比如系统中的某些不变集（如奇点和极限环）。
5. 二维系统的相图分析
将方程化为二维系统后，可以使用相平面分析方法来研究系统的动力学特性。这是通过将一阶微分方程组表示为一个向量场来实现的，该向量场的积分曲线即系统的轨迹。通过分析这些轨迹，可以获得系统状态随时间变化的图像，即相图。
6. Dulac判别法与极限环
为了讨论二维系统中极限环的存在性，文中运用了Dulac判别法。极限环是指在一个二维动力系统中，存在一个封闭的轨迹，系统点一旦进入该环形区域就会无限期地沿着该轨迹循环。如果某个区域内的向量场没有通向无穷远点的路径，Dulac判别法可以用来证明这个区域内不存在极限环。应用此判别法可以证明在某些参数条件下，系统的全局相图中不存在极限环。
7. 高阶奇点
在进行定性分析时，提到了高阶奇点的概念。高阶奇点是指在二维相空间中，非线性动力系统在该点有较高阶的零特征值。高阶奇点的存在对系统的稳定性分析有着重要影响。
8. 定性分析的数学工具
文件中提到的定性分析是一种不依赖于具体数值，通过研究系统的结构性质来分析系统行为的方法。这通常需要运用一系列数学工具和技术，如奇点理论、极限环理论、相空间分析等。通过这些数学工具，研究者可以不必求解具体的方程，就能对系统的稳定性、周期解的存在性等性质进行深入分析。
9. 研究的主要结果
文中主要讨论了当参数a>1及a<0时简化Fitzhugh-Nagumo方程的定性分析。研究结果表明，在这些参数条件下，系统不具有某些动态特性，例如极限环的存在性被排除。这些结论对于理解特定参数设置下系统的动态行为具有重要意义。
通过以上知识点的详细介绍，我们可以看出，Fitzhugh-Nagumo方程不仅在理论研究中具有重要地位，同时也在实际应用中有着广泛的影响。对简化模型进行定性分析，有助于揭示复杂系统的基本特性和内在动力学机制。
