在数学领域，尤其是代数学分支中的半群理论，完全正则半群是研究对象之一。本文档标题所指的“正则密码群并半群的两个等价刻画”便是该领域的一个研究成果。正则半群是一类具有丰富结构和重要应用背景的半群，而完全正则半群则是正则半群的一个特殊类别。
我们需要了解几个关键概念：同余、关系同态和正则密码群并半群。同余是一种特殊的等价关系，它在代数学中保持代数操作的特性。关系同态则是指在同余关系下的结构保持映射。正则密码群并半群，简言之，是一种特殊类型的半群结构，其中每个元素都可以与一个特定的幂等元相联系，使得群的性质得以在半群中体现。
文章中提到的同余关系ρα,β是在完全正则半群S上定义的。它是一个等价关系，形式为ρa={(x,y)∈S×S:(axa)0=(aya)0}。这个关系是一种特殊类型的同余关系，与S上的同余有关。同余关系的引入是为了解决结构和操作的问题，使得可以在半群中构造出某种代数结构的商集合。
文章还引入了关系同态的概念，关系同态是指从一个半群到另一个半群的映射，它保持了这种同余关系。关系同态在正则密码群并半群的研究中起着桥梁的作用，能够将一个半群的性质映射到另一个半群中，这对于理解半群的内部结构具有重要意义。
文档还提到了幂等元，幂等元是指半群中的元素x，满足x*x=x。在完全正则半群中，幂等元起着重要的作用，因为它们构成了半群的一种内部结构。半群的幂等元可以类比于群中的单位元，它是理解半群内部结构的关键。
特别地，正则密码群并半群的研究中，关系同态和同余关系的引入，不仅有助于理解其内部结构，而且在完全正则半群的研究中具有核心地位。文档中借助同余和关系同态的概念，证明了在完全正则半群上，某些性质是等价的，这些性质包括同余关系ρα,β的存在性、关系同态Φα,β的存在性以及半群上的一些运算性质。
文章进一步使用了集值映射、等价关系等代数工具，从更一般的视角来研究和刻画正则密码群并半群。通过引入集值映射和等价关系的概念，研究者得以构建起一种更为一般和抽象的数学结构，并在此基础上进一步探讨半群的性质。
在更具体的技术层面，文档涉及到的集值映射概念扩展了传统函数映射的概念，一个集值映射可以将一个元素映射到一个集合，而非单个元素。这使得在研究半群结构时，可以处理更加复杂和非单一的映射关系。同时，文档中也涉及了特殊的半格分解模型，这是对半群结构进行进一步细分的一种数学工具，通过分解半群为更小的组成部分，便于深入研究和理解半群的复杂性。
本文的另一个重要观点在于，它不仅提供了理论上的等价刻画，而且给出了一种新的方法来理解正则密码群并半群。通过对同余关系和关系同态的深入研究，本文为完全正则半群的研究领域贡献了新的理论工具和研究成果，这在一定程度上丰富了半群理论的内涵，也拓展了相关领域的应用。
总结来说，本文所探讨的正则密码群并半群的等价刻画，是通过利用同余和关系同态的概念，揭示了完全正则半群中一系列重要性质的等价性。通过这些性质的等价刻画，文章不仅为理解完全正则半群提供了一种新的视角，而且还为整个半群理论的发展和应用提供了重要的数学工具和理论支持。这为后续研究者在半群理论及相关领域的研究提供了新的思路和方法，具有重要的学术价值和实际意义。
