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Wright分数阶时滞微分方程的离散化过程
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2021-04-30
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引进了一种离散化方法对分数阶时滞微分方程进行离散化求解。首先考察Wright分数阶时滞微分方程;其次分析相应具有分段常数变元的Wright分数阶时滞微分方程,并应用离散化过程对模型进行数值求解;然后根据不动点理论讨论该合成动力系统不动点的稳定性;最后借助MATLAB对模型进行数值仿真,并结合Lyapunov指数、相图、时间序列图、分岔图探讨模型更多复杂的动力学现象。结果显示,提出方法成功地对Wright分数阶时滞微分方程进行了离散。
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收稿日期:20180227;修回日期:20180412 基金项目:国家自然科学基金重大研究计划资助项目(91324201);湖北省自然科学基金
资助项目(2014CFB865)
作者简介:刘杉杉(1992),女,河北邯郸人,硕士研究生,主要研究方向为分数阶微分方程(1599331756@qq.com);高飞(1976),男,湖北武汉
人,教授,硕导,博士(后),主要研究方向为群集智能、演化计算、量子智能算法、混沌控制与同步.
Wright分数阶时滞微分方程的离散化过程
刘杉杉,高 飞
(武汉理工大学 理学院,武汉 430070)
摘 要:引进了一种离散化方法对分数阶时滞微分方程进行离散化求解。首先考察 Wright分数阶时滞微分方
程;其次分析相应具有分段常数变元的 Wright分数阶时滞微分方程,并应用离散化过程对模型进行数值求解;然
后根据不动点理论讨论该合成动力系统不动点的稳定性;最后借助 MATLAB对模型进行数值仿真,并结合 Lya
punov指数、相图、时间序列图、分岔图探讨模型更多复杂的动力学现象。结果显示,提出方法成功地对 Wright
分数阶时滞微分方程进行了离散。
关键词:分数阶微分方程;时滞;分段常数变元;定点;分岔;混沌
中图分类号:TP301.5 文献标志码:A 文章编号:10013695(2019)08029238305
doi:10.19734/j.issn.10013695.2018.02.0092
OndiscretizationprocessoffractionalorderdelayWrightequation
LiuShanshan,GaoFei
(SchoolofSciences,WuhanUniversityofTechnology,Wuhan430070,China)
Abstract:Thispaperintroducedadiscretizationprocesstodiscretizefractionalorderdelaydifferentialequations.Firstofall,
itconsideredthefractionalorderdelayWrightfractionaldifferentialequation.Then,itanalyzedthecorrespondingfractional
orderWrightdifferentialequationwithpiecewiseconstantargumentsandappliedtheproposeddiscretizationprocesstosolve
themodelnumerically.Afterthat,accordingtothefixedpointstheory,thispaperinvestigatedthestabilityofthefixedpoints
oftheresultantdynamicalsystem.Finally,itcarriedoutanumericalsimulationincludingLyapunovexponent,phasedia
grams,timeseriesdiagram,bifurcationusingMATLABtorevealmorecomplexdynamicsofthemodel.Simulationexperiments
showthatthispapersucceedsindiscretizingfractionalorderdelayWrightequation.
Keywords:fractionalorderdifferentialequations;delay;piecewiseconstantarguments;fixedpoints;bifurcation;chaos
0 引言
混沌被认为是继量子力学与相对论之后的第三大科学的
发现。混沌系统是非线性动力学映射主要表现形式之一,具有
良好的类随机、非周期、对初始值敏感、历经各态并可确定等特
性,被信息安全、扩频通信及工业控制等领域的研究者们广泛
关注
[1~4]
。近几十年来,分数阶(非整数)混沌系统迅速发展
并且引起学者们的极大关注。分数阶微积分被看做是整数阶
到非整数阶微积分的推广,已知当系统阶数超过 3,系统出现混
沌行为。但研究人员发现,对于一些分数阶微积分总表现出阶
数小于
3的混沌行为,如 Hartley等人
[5]
的研究阐述了该现象。
其中,时滞微分方程(
DDEs)是依赖于当前和过去历史状
态的动力系统的数学表达式,例如延时反馈神经系统、呼吸调
节、农业商品市场、非线性光学和血液中的噬中性粒细胞。本
文将特别关注这样的系统,其中时滞微分方程为
x′(t)=f(x(t),x(t-
τ
)) x(t)
∈
R
n
,t
≥
0
其中:时间 t时系统的状态为 x(t);在过去的时间状态为x(t-
τ
);
τ
为一个固定的时间延迟。此外时滞微分方程出现在很多
数学模型中,如种群动态学(妊娠时间考虑在内)、传染病(传
染周期考虑在内)、生理和药理动力学(血液循环周期)、化学
动力学等
[6]
。
分数阶微积分是传统意义的整数阶微积分的延伸和拓展,
是将求导次数和求积次数由整数推广到非整数。这里“分数”
是一个广义的概念,不仅包含分数,还包含无理数和复数等,所
以分数阶微积分其实是非整数微积分。分数阶微分是分数阶
微积分重要研究领域之一,也是处理实际应用中非线性问题的
有力工具,本文就是基于分数阶微分的基本理论展开对
Wright
时滞微分方程非线性现象的研究和分析。由分数阶微分的定
义可以看出,分数阶微分与以前所有采样点的采样值有关,而
整数阶微分只与当前采样点和当前时刻的前一时刻采样点的
取值有关
[7]
,因此分数阶微分系统适合刻画描述具有记忆、遗
传等特性的过程,区别于整数阶微分系统,也是研究分数阶微
分系统的必要因素。再有整数阶系统是分数阶系统阶次取整
数时的特例,是现实系统理想化的一种处理方式,所以所有混
沌系统都可以说是分数阶混沌系统。因此采用分数阶混沌系
统对混沌现象进行描述更具有普适性。而本文将
Wright时滞
微分方程推广到分数阶领域,其离散化过程对分数阶求解提供
了理论指导,为分数阶微积分的应用开拓了新领域。近几年因
为分数阶微积分在科学技术领域的广泛应用,吸引到很多学
者,他们利用数值仿真研究该类方程。因为
Caputo型分数阶
微分描述问题的初始条件与整数阶微分方程是一致的,所以本
文选用 Caputo型分数阶微分进行研究,首先阐述 Caputo型分
数阶微积分的定义。
定义 1
[8]
函数 f(t)定 义在 (0,+
∞
),其中 阶 数
β∈
R
+
的分数阶积分公式为
I
β
a
f(t)=
∫
t
0
(t-s)
β
-1
Γ
(
β
)
f(s)ds (1)
分数阶微分的公式为
第 36卷第 8期
2019年 8月
计 算 机 应 用 研 究
ApplicationResearchofComputers
Vol36No8
Aug.2019
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