本文主要讨论了复数系在加权Hardy空间中的完备性问题，具体是在上半平面加权Hardy空间Hpα（p≥1）中对复数系的完备性给出了充要条件。Hpα属于Banach空间的范畴，这里Hpα定义在上半平面C+={z：Imz>0}。复数系的完备性研究是分析数学特别是泛函分析和复分析中的一个重要课题。本研究的意义在于为处理加权Hardy空间中复数系的完备性提供了理论基础和判定方法。
Hardy空间是一个经典的主题，它们在复分析、数学物理以及工程领域中有着广泛的应用。Hardy类的性质在文献[2]中有详细的讨论，而本研究则是基于邓冠铁[4]关于半带形复指数多项式的完备性，以及胡海娟[5]中对Hardy空间复指数多项式的完备性的研究而进行的。本文作者受到这些先行工作的启发，进一步研究了加权情况下的复数系完备性问题，并得到了主要结果。
文章首先给出了复数系在Banach空间Hpα中的定义和问题的提出，对Hpα空间及其在复分析中的重要性进行了说明。Hpα空间的元素是一类特定的函数，空间的范数定义涉及到这些函数的绝对值的积分。Hpα空间是完备的赋范线性空间，而复数系的完备性探讨的是复数系作为子空间在Hpα中的闭包是否等于整个Hpα空间。
为研究复数系的完备性，文章引入了复数序列A={λn:n∈N}以及复指数多项式空间M(A)，并给出了函数α(t)的条件，该函数与Hpα空间的完备性紧密相关。通过Young变换定义了α*(x)是关于t的凸函数，并给出了α*(x)满足的条件。文章还定义了α(x)的对偶关系，并在一定的条件下推导出了M(A)在Hpα空间中不稠密的充要条件。
接着，文章通过引入Hpα空间的赋范和特定的函数φ(r)与log+r，对复数系在Hpα空间中的完备性进行了深入研究。这部分内容涉及到了复变函数在上半平面的解析性以及Hardy空间中函数的性质。
文章还提到了通过Hahn-Banach定理和Riesz表示定理来构建Hpα空间上的有界线性泛函，从而得到复数系在Hpα空间中的完备性条件。这表明研究者能够运用泛函分析的方法来探究复数系在Hardy空间中的完备性问题。
文章利用已提出的条件，给出了复数系在Hpα空间中完备性的必要性和充分性证明。这在数学理论和工程应用中都有一定的价值。证明过程中运用了复变函数理论、泛函分析和数学分析中的经典定理和概念，如Hahn-Banach定理、Riesz表示定理、对偶关系和凸函数等。
本文的研究成果为加权Hardy空间Hpα中的复数系完备性提供了完备的理论框架，并通过严格的数学推导确定了完备性的充要条件。这一理论成果对于理解加权Hardy空间的结构和性质，进一步研究相关领域的数学问题具有指导意义，并可能对工程技术中的某些问题提供解决方案。
