非线性耦合Klein-Gordon方程组是理论物理中描述多个粒子相互作用的基本方程之一。它在量子场论、粒子物理、固体物理等领域具有广泛的应用。该方程组涉及的解通常包括行波解、孤立波解、周期波解等。孤立波解描述的是波形在传播过程中保持其形状不变的波，而周期波解则表现为波动在一定区域内周期性重复出现的特征。F-展开法是一种寻找非线性偏微分方程精确解的有效数学工具，它基于齐次平衡原则，通过引入适当的函数变换来简化原方程的形式，从而获得方程的解。
在本篇论文中，研究人员通过F-展开法求解了非线性耦合Klein-Gordon方程组。他们发现，通过适当的变换和假设，原方程能够化简为关于某个函数F及其导数的多项式方程。具体地，当这个函数F满足特定的二次微分方程时，该多项式方程的系数能够被设置为零，从而构建出一个代数方程组。解这个代数方程组可以得到满足原方程的未知函数U和V的参数表达式，进而通过特定的Jacobi椭圆函数得到周期波解。
Jacobi椭圆函数是椭圆积分的逆函数，具有丰富的周期性质，可以用来表示周期性波动的物理量。在这篇论文中，Jacobi椭圆函数被用来描述非线性耦合Klein-Gordon方程组的周期波解。这种函数的一般形式能够表示为F(x, m)的形式，其中x是自变量，m是模数（与椭圆函数的形状有关的参数），在模数趋近于1时，Jacobi椭圆函数可以退化为三角函数形式；在模数趋近于0时，又可以退化为孤立波的形式。
在这篇论文中，还提到了模数的概念。在Jacobi椭圆函数的语境中，模数是决定函数性质的关键参数。模数的值会影响函数的周期和波形，不同的模数值意味着不同的波动类型。例如，模数趋近于1时，波动更接近于三角波形；模数趋近于0时，则会形成孤立波解。
具体到本篇论文，研究人员利用F-展开法，对非线性耦合Klein-Gordon方程组求得的周期波解进行了详细的研究，分析了模数变化时波动解的变化情况，得到了模数为1和0时的孤立波解及三角函数解。这些解为理解非线性耦合系统中波的传播和相互作用提供了新的数学工具和视角。
这篇论文介绍了F-展开法在求解非线性耦合Klein-Gordon方程组中的应用，并特别关注了由Jacobi椭圆函数表示的周期波解。同时，通过对模数的研究，揭示了模数变化对波动解的影响，包括孤立波解和三角函数解的获取。这些成果不仅丰富了数学物理方程精确解的理论，也为物理学中波的传播和相互作用提供了一定的数学模型和解决方案。
