在探讨一类抽象群的有向序化问题时，我们首先需要了解一些基础的代数学概念。1949年，Birkhoff提出了一个关于抽象群的猜想，即任意抽象群是否都可以有向序化。有向序化是指为群赋予一个偏序，使得该群在偏序下是一个有向集，即对于任意的两个元素，都存在第三个元素，使得前两者都可以与之进行比较。
在本文中，作者采用了构造法来探讨一类特殊的抽象群是否可以被有向序化，并期望为Birkhoff猜想提供一种可能的局部实现。这里所提到的构造法主要是通过构造一类新的群H，并将给定的半群G嵌入到H中，形成H的一种偏序，进而使H成为有向群。
接下来，我们需要知道有关偏序群和有向序群的相关概念。偏序群是一种同时具备群的结构和偏序关系的代数结构，其偏序关系需要满足特定的封闭性、正规性和完全性。有向序群则是在偏序群的基础上，对于任意两个元素，都存在一个元素与之相比较。有向集的概念在本文中也被提及，它是偏序集的一个特例，具体指的是在偏序下任意两个元素都可以被第三个元素所比较。
文章中还提到了半群的概念，半群是仅具有结合律的二元运算的集合。本文中的群运算和半群运算均采用加法记号表示，但实际上并不一定满足交换律，这是一个需要注意的细节。
为了实现上述构造，作者提出了定理1，其中给出了半群G需要满足的条件（满足消去律、含有单位元、对任意元素a和G中的元素，都有a+G=G+a），这样可以保证该半群可以嵌入到某个群H中。接着文章中给出了群H的构造方法，它由G中的元素对组成，并赋予了一种特殊的运算规则。通过这种方式，可以验证所构造的群H是否满足群的四个基本性质：封闭性、结合性、单位元的存在以及每个元素都有逆元。
文章还详细说明了群H中运算规则的合理性，包括自反律、对称律和传递律的验证过程，这些是确认所构造结构能够形成群的基础。
文章最后讨论了构造出来的群H是否满足有向序化的条件，并指出了通过这种方式实现的有向序化具有局部实现的可能性。这为研究Birkhoff猜想提供了一个具体的研究方向。
本文通过对特定的半群进行构造，探讨了其是否能嵌入到群中，并使群成为有向序群，从而为解决抽象群的有向序化问题提供了重要的思路和可能的方法。这对于理解抽象群的结构和性质具有重要意义，并且有助于推动代数学尤其是群论的深入研究。
