向量自回归模型Granger因果图的条件互信息辨识与应用(2011年)资源-CSDN文库

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第 28 卷第 7 期

2011 年 7 月

控制理论与应用

Control Theory & Applications

Vol. 28 No. 7

Jul. 2011

向向向量量量自自自回回回归归归模模模型型型Granger因因因果果果图图图的的的条条条件件件互互互信信信息息息辨辨辨识识识与与与应应应用用用

文文文章章章编编编号号号: 1000−8152(2011)07−0979−08

魏岳嵩

1,2

, 田铮

, 陈占寿

(1. 西北工业大学应用数学系, 陕西西安 710129; 2. 淮北师范大学数学科学学院, 安徽淮北 235000)

摘要: Granger因果性是衡量系统变量间动态关系的重要依据. 传统的两变量Granger因果分析法容易产生伪因果

关系, 且不能刻画变量间的即时因果性. 本文利用图模型方法研究时间序列变量间的Granger因果关系, 建立了时

间序列Granger因果图, 提出了Granger因果图的条件互信息辨识方法, 利用混沌理论中的关联积分估计条件互信息,

统计量的显著性由置换检验确定. 仿真结果证实了方法的有效性, 并利用该方法研究了空气污染指标以及中国股

市间的Granger因果关系.

关键词: Granger因果图; 多维时间序列; 条件互信息; 关联积分; 置换检验

中图分类号: O211.6 文献标识码: A

Identiﬁcation and application about Granger causality graph of

vector autoregressive model using conditional mutual information

WEI Yue-song

1,2

, TIAN Zheng

, CHEN Zhan-shou

(1. Department of Applied Mathematics, Northwest Polytechnical University, Xi’an Shaanxi 710129, China;

2. School of Mathematical Science, Huaibei Normal University, Huaibei Anhui 235000, China)

Abstract: The Granger Causality is an important basis for measuring the dynamic relationships among system vari-

ables. Traditional two-variable Granger causality analysis method is prone to inducing spurious causal relationship and

can not portray the immediate causal relationship. This paper explores how to use graphical models method to analyze the

Granger causal relations among components of multivariate time series. Granger causality graph of time series is presented.

The structural identiﬁcation of Granger causality graph is investigated based on the conditional mutual information. The

conditional mutual information is estimated using the correlation integral from chaos theory. The signiﬁcance of the tested

statistics is determined with a permutation test. The validity of the proposed method is conﬁrmed by simulations analysis.

The Granger causal relationships of the air pollution index and the China’s stock market are investigated using the proposed

method.

Key words: Granger causality graph; multivariate time series; conditional mutual information; correlation integral;

permutation tests

1 引引引言言言(Introduction)

由观测数据确定系统变量间的因果关系是系统

辨识的重要内容. 自从1969年Granger

[1]

提出Granger

因果性概念以来, Granger因果性已经成为衡量系统

变量间动态关系的重要依据, 在神经网络

[2]

、金融

经济

[3]

、医学

[4]

、信号处理

[5]

等众多领域都有着广泛

应用. Granger指出: 如果在其余变量信息给定的情

况下, 融入某一变量的信息有助于对另一变量将来

值的预测, 则该变量是另一个变量的原因. 当前对

系统变量间Granger因果关系的研究多采用两变量

Granger因果性检验法

[6, 7]

, 由于忽视其他重要解释

变量的影响, 常会导致伪因果性的出现. 此外, 两变

量Granger因果性检验只能检验两变量间长期的因

果关系, 而无法度量变量间的即时因果关系, 这些都

限制了该检验方法的使用范围.

近年来, 利用图模型方法研究系统变量间的各

种相依关系获得了诸多学者的关注. 图模型方法不

仅能够借助于图直观的表示所要研究目标之间的

相依关系, 而且可利用图的结构对该相依关系进行

分析, 它已经成为分析和处理系统变量间复杂关系

的一个重要工具

[8∼10]

. 利用图模型方法研究变量间

的Granger因果性首先由Dahlhaus和Eichler

[11]

提出,

Eichler

[12, 13]

对其作了进一步的研究, 在假设变量服

从正态分布的先验信息下, 利用条件正交性建立

了Granger因果图模型. 但条件正交性只适合于分析

正态变量间的因果关系, 对于变量分布未知或服从

非正态分布时, 利用图模型方法研究变量间的因果

性以及有效的辨识Granger因果图结构是仍待研究

收稿日期: 2010−06−30; 收修改稿日期: 2011−02−23.

基金项目: 国家自然科学基金资助项目(60375003, 10926197).

980 控制理论与应用第 28 卷

的问题.

本文研究分布未知的时间序列Granger因果性的

图模型辨识问题. 通过条件独立性建立多维时间序

列Granger因果图, 同时在Granger因果图中融入即时

因果性关系, 提出了Granger因果图的条件互信息辨

识方法, 利用关联积分估计条件互信息. 为了避免分

析统计量近似分布所需的一些复杂计算, 采用置换

检验法确定统计量的显著性, 并利用所给方法做了

模拟分析和实例分析. 与传统的两变量Granger因果

性分析方法相比, 所给的图模型方法能更加直观的

揭示分量间的多种因果关系, 也可检验多个变量间

的Granger因果关系, 同时能得到更为准确的结论.

2 多多多维维维时时时间间间序序序列列列 Granger 因因因果果果图图图(Granger

causality graph for multivariate time series)

令V 是一非空有限集, 图G = (V, E)是一有序集,

其中V 中的元素称为图的顶点, 而E = {(a, b)|a, b ∈

V }中的元素称为边. 若(a, b) ∈ E且(b, a) ∈ E, 则

(a, b)称为图G中的无向边, 在图中用a — b表示. 如

果(a, b) ∈ E但(b, a) /∈ E, 则(a, b)称为图G中的有

向边, 在图中用a → b表示. 若图G中既有有向边又

有无向边, 则称其为混合图.

设X(t) = (X

(t), X

(t), · · · , X

(t))

是定义在

概率空间(Ω, F, P )上的n维平稳随机过程, V = {1,

2, · · · , n}为相应的指标集. 对任意A ⊂ V , 以X

, a ∈ A}表示X

= X(t)的多变量子过程,

X(t)

= {X(s), s < t}表示在时刻t之前该随机过程的信

息集. G = (V, E

, E

)表示顶点集为V 的混合图,

其中E

⊆ {(u, v) ∈ V × V |u 6= v}为有向边集,

而E

⊆ {(u, v) ∈ V × V |u 6= v}为无向边集.

定定定义义义 1 (Granger因果性) 设A和B是V 的不相交

子集, X

和X

是X

的相应子过程, X

(t)表示在

时刻t的所有有关V 的信息集,

1) 如果 X

(t) ⊥

(t)|

V \A

(t), 则称X

是X

关于X

的非Granger原因(符号⊥表示独立关系);

2) 如果X

(t) ⊥ X

(t)|

(t), X

V \{A,B}

(t), 则

称X

和X

关于X

是非即时因果的.

定定定义义义 2 (Granger因果图) 设

X(t) = (X

(t), X

(t), · · · , X

(t))

是定义在概率空间(Ω, F, P )上的n维平稳随机过程,

如果以下条件成立, 则称以{X(t)}各分量为顶点

集 V = {1, 2, · · · , n} 的混合图 G = (V, E

, E

) 为

Granger因果图.

1) 对任意i, j ∈ V 且i 6= j有

(i, j) /∈ E

⇔ X

(t) ⊥

(t)|

V \i

(t);

2) 对任意i, j ∈ V 且i 6= j有

(i, j) /∈ E

⇔ X

(t) ⊥ X

(t)|

(t), X

V \{i,j}

(t).

由上述定义可以看出, 如果X

是X

关于X

的

非Granger原因, 则在给定

V \A

(t)的情况下, X

(t)

和

(t) 是条件独立的, 这里所依赖的信息集为

(t), 若将X

(t)用X

{A,B}

(t)来替代, 得到的则是

两变量Granger因果关系.

定定定义义义 3 (两变量Granger因果关系) 对于n维平

稳随机过程X(t) = (X

(t), X

(t), · · · , X

(t))

, 若

(t) ⊥

(t)|

{i,j}

(t)成立, 则称X

(t)是X

(t)

的关于X

{i,j}

的两变量非Granger原因.

零均值平稳VAR(p)模型可表示为

X(t) =

k=1

X(t − k) + u

, (1)

其中: X(t) = (X

(t), X

(t),· · ·, X

(t))

, u

= (u

· · · , u

)

为独立同分布的新息项, 且E(u

) =

0, Σ = E(u

)为非奇异阵; A

, · · · , A

是n × n阶

系数矩阵. 为了给出向量自回归模型(vector autore-

gressive model, VAR)模型的Granger因果图, 这里先

引用一些定义和定理.

定定定义义义 4 (时间序列链图)

[8]

对n维平稳时间序

列X(t) = (X

, · · · , X

)

, 记由X(t), X(t − 1),

· · · , X(t − p)的各个分量所构成的集合为V , 若

图G = (V, E

)满足以下条件, 则称其为时间序

列链图模型.

(a, t − u ) → (b, t) /∈ E

⇔

u 6 0或X

(t − u) ⊥ X

(t)|

(t)\{X

(t − u)},

(a, t − u ) → (b, t) /∈ E

⇔

u 6 0或X

(t) ⊥ X

(t)|

(t) ∪ {X

V \{a,b}

(t)}.

引引引理理理 1

[8]

对于VAR模型(1), G = (V, E

)是相

应的时间序列链图模型, 则

(j, t − k) → (i, t) /∈ E

⇔ k ∈ {1, · · · , p},

且

(i, j) =0, (j, t)−(i, t) /∈ E

⇔Σ

(−1)

(i, j) =0,

其中A

(i, j)为A

的第(i, j)位置的元素.

定定定理理理 1 对具有 Granger 因果图 G = (V, E

)的VAR模型(1), 以下结论成立:

1) 对任意i, j ∈ {1, · · · , n}都有

(i, j) /∈ E

⇔ ∀k ∈ {1, · · · , p}, A

(j, i) = 0; (2)

2) 对任意i, j ∈ {1, · · · , n}都有

(i, j) /∈ E

⇔ Σ

−1

(i, j) = 0. (3)

证证证 1) 由Granger因果性的定义以及条件独立

性的性质有

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