本文研究了二维Lotka-Volterra合作系统模型在带有时间滞后情况下的局部稳定性问题。Lotka-Volterra模型在生态学中被广泛用于描述种群动态，尤其是捕食者与食饵之间的关系。但在合作系统中，各物种之间是相互促进而非竞争或捕食。文章针对这种情况，提出了具体构造Lyapunov泛函和微分不等式的方法，探讨了系统在何种条件下会达到局部渐近稳定的状态。
文章介绍了Lotka-Volterra合作系统模型，其中包含了时间滞后项，这反映了种群之间相互作用存在的时间延迟效应。系统模型可以表达为两个方程，分别对应于两个种群的数量变化，其中包含了正的相互作用系数，意味着种群间相互促进。系统的初始条件被设定为在一定时间区间内的非负初值。
文章提到，当系统中没有时间滞后时，对应的常微分系统简化为仅包含当前时间点种群数量的模型。在一定条件下，这种无滞后系统存在正平衡点，表示种群数量达到某种稳定的平衡状态。但对于带有时间滞后的系统，正平衡点的局部稳定性分析变得更为复杂。
关于时滞对系统稳定性的影响，本文指出，虽然对于竞争系统和捕食系统，时滞的存在可能不会影响解的有界性和持久性，但对于合作系统，情况则不尽相同。已有的文献研究了具有相同或不同时滞的Lotka-Volterra合作系统的持久性、一致有界性及正平衡点的全局吸引性，并给出了一些条件。本文则是基于这些文献的研究，进一步深入探讨了时滞对合作系统局部渐近稳定性的影响。
为了分析系统在带有时滞情况下的稳定性，本文构造了Lyapunov泛函，这是一类特殊的能量函数，能够帮助判断动态系统的稳定性。通过构造Lyapunov泛函，并应用微分不等式的方法，文章给出了判断系统局部渐近稳定性的充分条件。定理中提出了时滞大小的条件，这些条件能够保证系统的正平衡点是局部渐近稳定的。
文章中出现了一些参数和条件，例如ρ11、ρ21、ρ12、ρ22、α、β、γ等，这些参数与种群间的相互作用系数和时滞有关。这些参数在构造Lyapunov泛函和分析稳定性时起到了关键作用。通过一系列的数学推导和证明，本文最终给出了系统局部渐近稳定的条件，这些条件都是基于Lyapunov泛函的导数为负定这一性质。
文章作者指出，本研究是在前人工作的基础上进行的，是对已有研究结论的延续和扩展。文中不仅提供了系统稳定性的充分条件，还讨论了时滞大小的估计问题。作者还提到了相关研究的方向，包括系统的一致有界性、持久性和正平衡点的全局吸引性等。
通过对这篇论文内容的深入分析，我们可以了解到Lotka-Volterra合作系统模型在带时滞情况下的稳定性质研究是一个重要的生态数学问题。这类问题的解决对于理解生物种群动态以及预测种群发展具有重要的现实意义。此外，本文的方法论对于解决其他具有时滞的非线性动态系统稳定性问题也有一定的借鉴价值。
