在探讨半群理论的研究中，提出了一个全新概念：拟直积。拟直积是研究半群合成的新方式，其目的在于拓展半群理论的结构，丰富其运算性质。半群作为代数学中的基础结构之一，其合成方式的创新，对于抽象代数的发展具有重要意义。
文章给出了单音分解的定义：如果半群S中的每一个元素s都可以唯一表示为两个子半群A和B的乘积形式，即s=ab，并且其中的a属于A，b属于B，那么就称S拥有单音分解。单音分解的存在为半群的构造提供了新的视角，它允许半群由其子半群的乘积来描述。
在单音分解的基础上，文章进一步定义了换位函数。换位函数是两个映射F和G，它们用于描述子半群A和B的元素是如何结合成半群S中的元素的。具体而言，给定A和B中的元素a和b，换位函数F和G分别给出了一种规则，用以确定新的a'和b'，使得ab=a'b'。换位函数在半群理论中发挥着桥梁的作用，它们连接了子半群与整个半群的结构。
紧接着，文章提出了拟直积的概念，并给出了其定义。通过在集合的卡氏积AXB中引入特定的乘法结构，可以在满足特定性质的映射F和G下，构造出一个新的半群AXB。这些性质包括了对单位元的保持、对映射F和G的特定运算规则的要求。通过这种方式构造出的半群AXB被称为A和B的拟直积。
为了证明拟直积的结构确实构成一个半群，文章提供了拟直积引理。该引理说明了在满足特定映射F和G的条件下，卡氏积AXB关于新定义的乘法确实满足结合律，进而是一个半群。这一证明过程涉及了对映射F和G性质的深入分析，以及对卡氏积中元素乘积结果的推导。
文章中定义了两个重要的同态映射，它们分别将子半群A和B映射到由它们构成的拟直积AXB上。这些同态映射揭示了子半群到拟直积的结构关系，证明了同态的性质，并且最终确定了拟直积中子半群与原半群之间的一一对应关系。这些性质的探讨，对于理解和应用拟直积概念至关重要。
文章给出了一个重要的定理，即半群S有拟直积分解的充分必要条件是S有单音分解。这一结果表明，单音分解的半群必定可以分解为具有特定结构的子半群的拟直积，反之亦然。这一定理确立了单音分解与拟直积之间的内在联系，是文章的核心结论之一。
在整篇研究中，作者于晓明通过精确的数学语言和严谨的逻辑推理，不仅定义了拟直积并给出了其基本性质，还展示了这种新结构在半群理论中的应用和重要性。该研究的发表，对抽象代数领域，尤其是半群理论的研究，产生了积极的影响，为后续的相关研究提供了新的工具和视角。
