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第
24
卷第
2
期
2007
年
04
月
工程数学学报
CHINESE
JOURNAL
OF
ENGINEERING
MATHEMATICS
Vo
l.
24
No.
2
Apr.
2007
文章编号:
1005-3085(2007)02-0292-11
单指标模型的异方差检验的渐近性质丰
张霞峰
朱仲义
1
,
2
(华东师范大学统计系,上海
20062j
复旦大学统计学系,上海
200433
)
摘
要:在回归分析中,通常假定方差齐性。在参数和非参数回归模型中,关于方差齐性的检验问题都有
很多的研究。本文利用
p-
样条方法,研究了单指标模型的异方差问题、一阶自回归问题,给出
了异方差问题、一阶自回归问题
Score
检验统计量的大样本性质。
关键词
:χ2
分布:异方差:一阶自回归
Score
检验;单指标模型
p-
样条
分类号:
AMS(2000)
62F07j 62G40
中图分类号:
0212.2
文献标识码
:A
1
引言
考虑如下单指标回归模型
Yi
=
g(
β
T
Xi
)
+
句
i
=
1
,…,
η
,
、、
-Ba
,,
ti
,,
SEE-
‘、
其中院
ε
RP
为解释变量,
ε=
(ε1
,…,
ε
n)T
服从正态分布
N(O
,
σ2E)
,
E
ij
=ρ|
←
jl
,
i
手
j;
E
ij
=叫,
i
= j ,
g(8)
ε
W
2"
= {g :
g(i)
绝对连续
i
0
,…
,
m-1
,
且
g(m)
平方可
积},
β
为
p
维未知参数。本文只考虑
m=2
的情况。
如果
ρ=0
,叫=
1,i =
1
,…爪,则
ß
,
g(8)
的估计是通过最小化
n
max(x;β)
,、《
Qn,
À(())
=
η-1
)丁{执
-
g(
β
T
Xi)}2+
λ
J
(g(m) (8) )2d8 (2)
寸
min(x;β)
得到的。如果存在
4
使得叫乒1,
p
乒
0
,则模型
(1)
出现异方差,且不独立,那么采用
(2)
得到
的
β
,
g(8)
的估计就不再渐近有效。
λ
是光滑参数,一般由可用最小化
GCV
、
CV
方法得到,
本文采用
GCV
方法。
单指标模型是一类非常广泛的统计模型,对该模型的拟合分两步进行。第一步估计单指标
变量
8=β
T
X
,
也即估计
β:
第二步在己知
S
的基础上估计
g
。对于
β
的估计,可以用最小二
乘估计:对因子
s
给定时
g
的估计,本文选用了
p-
样条方法,详见
[1
,
2J
。
上述文献主要在误差独立、方差齐性的条件下研究模型
(1)
。而在回归分析中,象随机误差
是否存在这样的假定是理论和应用工作者十分关心的问题。对于线性回归,
[3J
研究了方差非
齐性的
Score
检验,得到了很好的结果。
[4J
和
[5J
研究了非参数回归模型的异方差检验;
[6J
研
究非线性回归的异方差分析问题
[7
,
8J
利用惩罚样条研究了半参数线性回归模型的异方差检验
问题:最近
[9J
利用局部多项式方法研究了单指标模型的
Score
检验
1
而[lO
J
利用惩罚
p-
样条
研究了单指标回归模型的异方差检验问题。本文主要在上述文献的基础上继[lO
J
文之后研究模
型(1)的异方差检验、一阶自回归检验的
Score
检验统计量的大样本性质,进-步推广和发展了
文献
[3"-'6
,
8-9
,
11J
等的工作。
收稿日期: 2005-05-09.
作者简介
张霞峰
(1979
年生)
,女,硕士,研究方向:数理统计.
*基金项目:国家自然科学基金
(10371042).
第
2
期
张霞峰,朱仲义:单指标模型的异方差检验的渐近性质
2
Score
检验统计量
为了介绍本文所时论的问题,我们首先介绍一
f
p-
样条估计。
2.1
p-
样条估计
293
记
g(b)
= (g(b
I),
g(b
2
),… ,g(bn))T ,
Y=(Yl
,… ,Yn)T , X =
(Xl'
…,
zn)T
,则模型
(1)
又
可表示为
Y =
g(Xß)
十
21/2e
,
e
rv
N(O
,
σ2
月,
(3)
其中
Wl
p
ρ
2
ρ
n-1
~=
_1
I p
W2
ρ
pn-2
1
一
ρ2
(4)
ρπ-1
ρ
n-2
.. .
ρ
W
n
这里一
1
<ρ<
1.叫
=ω
(z
毡,
α)
,
i =
1γ.
.爪,
αε
Rq
。未知的
g(.
)
用
p-
样条表示,详
见
[2]
,即
k
g(s) =
15
0
+
ðlS
+... +
ðps
P
十三二也
+k(S
-
Kk)
飞,
k=l
其中
{Kd
r<
=l
为
k
个样条节点。对于连续、单调或单峰的函数我们一般取
5rv
lO个节点。在
本文我们取单指标变量
S
=
xT
β
的等分位点为节点。
ψ
是与因子
S
有关的矩阵,使得
rmax(x
T
β
0)
。
ð
T
ψ
15
= I
[g"
(s)(
ds
,
Jmin(x
T
β
0)
这里取
ψ
为对角矩阵,且只取最后
k
个对角线元素的值为1.其它为
o
[1]
。设
15
(15
0
,
15
1
,
…,也
+k)T
为样条系数,
B(s)
=
(1
, S
,...
,SP ,
(s
-
k
I)飞
,...,
(s-kâ~_f
,
则
9(S)
= ð
T
B(s)
。由文[时,模型
(3)
的惩罚对数似然函数为
二
1
L(0)=-iiogd|2|-5(Y-h(Xβ
)f~-l(y
-
ðT
B(X
β))
乎可
15
,
(5)
其中。=
(β
T
俨
,
p
,
α
T
σ
2)T
0
本文基于上述
p-
样条估计,研究单指标模型
(1)
的异方差检验
的大样本性质。
下面先介绍
[10]
文关于模型
(1)
异方差检验的
Score
统计量。
2.2
异方差验检
在模型
(6)
中,令
ρ=
0
,则
2
二
diag(
叫),
var(éi)
=叫
σ2
。若叫,
i
=
1γη
不全相等,
则模型
(3)
方差非齐性,此时通常假定叫与某一协变量
Zi
和某一
q
维未知参数
α
有关,
即
Wi
ω(α
,
Zi)
,
其中
ω(.
,
.)为己知函数,井假设存在唯一
α
。使得对一切
4
都有
ω(α
o
,
Zi)
=
1
。因此此模型中的异方差检验问题等价于以下假设检验问题
Ho:
α=αo
VS
H
1
:
α
并
αo.
!走然,如果原假设成立,那么模
JW
具有方拉齐性,否则具有异方差性。
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