论文研究-异方差非参数回归模型均值与方差变点的小波估计与应用.pdf

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论文研究-异方差非参数回归模型均值与方差变点的小波估计与应用.pdf,  金融市场中,受突发事件的影响反映资产平均收益的均值函数和反映资产收益波动的方差函数都有可能出现变点. 本文讨论了均值和方差都存在变点的异方差非参数回归模型的变点估计问题. 给出均值函数与方差函数的局部线性估计,利用函数小波系数的特性求得均值与方差变点位置的估计值并给出其收敛速度.在模拟实验中分析变点估计值的样本特性及均
990 系统工程理论与实践 第33卷 由Wong等分别用以下和式近似连续小波变换得到经验小波系数 W ∑"nm(),W1k=元∑A()0() 其中N→∞,5;=/N将风间0,1分割成N+1个小区间.上述离散经验小波系数可由Mlat12提出 的塔型算法快速计算,指标J被称为多分辨水平(对应着频率2-)满足0≤Jn≤J且2+1=T,指标 k=0,1,…2-1被称为时间(空间)参数(对应着时间位置t=k/2n) 注3函数的经验小波系数的绝对值在变点附近明显大于其他点处.当函数仅含一个变点时,使得经验 小波系数的绝对值达到最大的点正好对应着函数的变点位置(可参见 Daubechies13,Wang4) 本文中要求小波函数v(x)满足如下条件: 假设3(1)(x)是紧支撑的且有界; (2)v(x)具有M(M≥1)阶消失矩,即∫"v(x)dr=0,n=0,1 32均值变点小波估计 首先给出m(x)的局部线性估计 m(x)= 2=1(x) 其中0,(ax)=K(4n)(L2(x)-(x-X:)L1(x),L1(x)=∑t=1(x-X1)K(x),=0,1,2.K()是有限支 撑上的核函数,且∫xK()da=0,「x2K(m)d=ak>0.|k(x)-K(y)≤cla-yl,m,y∈R.h是带宽 时,满足h→0且mh 由经验小波系数的性质可定义统计量如下 ∑1,()m( 则由注3可得变点t的估计值t1可定义为 其中k1= arg max{Wmnk,k∈Dn},Dn={k:k=2n2],0<z<1 定理1给出t1的收敛速度.为证明定理1首先给出如下四个引理,引理1,2,3的详细证明可参见 Chen.引理4见Yao和Tong15 引理1设函数C(x)二阶连续可微,则vk∈D有 Jn,k(5;)C(5) +O(2-51n/2 引理2设K(x)是某一有限支撑上的核函数且h→0(→∞).令t,=1,2,…,P是T(ax)的跳跃点, 对应的跳跃度记为d,b=1,2,…p.若T(x)=10(m)+EP=11lt,b(x),x∈[,,则当2n(t-5)∈supp(v) 时 ∑=1K(=2)∑=1b,( Jn/2 ∑vA(5 di y(a)da+OF F 当5;gUB14,A={r:2n(t-)∈sp(v)}时 Jn/2 ∑(; p dil[t (E) O ∑1K( 引理3设{Xa,i=1,2,…}是一强混合平稳随机变量,混合系数为a()且α(k)=O(kP),p>0.K( 是某一有限支撑的核函数且当n→∞时,1→0.{e,=1,2,…,n}满足假设(iv),则∨∈[a,有 ∑k(2)=(0oyo2(2)△ tO((log n)/(nh) 引理4设Gc{x:f(x)>0}是紧的则Vx∈G有 ∈ta(xt)K 2)b2og(1+Op(1) 第4期 齐培艳,等:异方差非参数回归模型均值与方差变点的小波估计与应用 991 假设4设当m→∞时,多分辨水平Jn满2/m→0,23n/n→∞ 定理1若假设1,2,3,4成立且n2n/(Nh)2→0,n→∞.则1-t1|=OP(2-) 证明由引理4 ∑)m()=飞∑5)|m() b/(s) Eto(tK t=1 2m(s)12(1+O(1)I++I ∑k(m()=∑n()m()+d1(小 再由引理1,2可得,当2n(t1-51)∈supp(v)时, 2 M/2)+O2-/)+O( 当2n(t1-5:)gsup(y)时 J/2 In/2 O(25n/2)+O 又由引理1,2,3,假设2()及文献(9]中的引理B2可知 ∑vn,k( nh, f(s, ∑σ(x)K ∑vn,A()n∑ ch f(s i E+K (00(xt)+d2lt2,1(ct) ∑n,k hf (si) +(5)∑K Ct-si t go(nt)Et (x-5) ∑的,()∑K d2lt21(x+) 则下6h6下号M-0(%/2 Jn/2 +O(251n/2)+O 1/2 +O(2 Jn/ 2y )+O g nh 2)+O(2-51n/2n2)(8 将(5,(6),(7),(8)带入W丌k可得,当2(t1-5)∈supp()时, Jn/2 In +O(2-5n12)+02-h2)+O 2n/2 J n/ 2 1/2 pg n 03-)+02-51,210人+02-1)+O(N O(2 5J/212) A 当2n(t1-5:)gsup(v2)时 J/2 Jn/2 Wmn,k≤「I+|I+II=O +O(25n/2)+O J/2 +0(2-512)+Op(gn)/+(2-1/)+0/=m/2 2 1/2 og n O(2 5.Jn2/ 而贵→∞当n→∝,因此,当2(t1-)∈sp(y),Wm,k取得最大值,即t1-t1|=O(2-) 992 系统工程理论与实践 第33卷 33方差变点小波估计 与31节类似,首先给出σ(x)的局鄙线性估计 vi(ayi 其中 (=)(L2(x)-(x-X)L1(x),Ln(x)=∑ X)() 2.V()是具有有 限支撑上的核函数且∫rv(x)dr=0,Jm2V(m)dm=ak>0,v()-v(y)≤clr-y,Vr,y∈R.b是带宽 且当m→∞时,b→0且mb→∞.统计量 Wo ∑vn(5:)() (10 同理由注3变点l的估计值l2为 其中k2= arg max{Wn.k,k∈Dn},Dn={k:k=2m],0<z<1} 定理2设假设1,2,3,4成立且n2n/(Nb)2→0,m→∞,则|2-t2=Op(2 证明由文献⑨中式(221)有, W vnk(5)0(5)=N2,(5()+OP(1gx) l/2 ∑vn(51)(0()+d2k21(5)+ g N 再利用引理1,2,则当2(t1-51)∈supp(v2)时, In/2 2Jn/2 1/2 1,k|≥Op(21)+O O(2 N mb ≌A1(12) 当2n(t1-5:)gsup()时 J/2 J2 1/2 +O(2 O gn (13) 而盘→∞当 因此,|t2-t2= 4模拟结果与实例分析 均值函数和方差函数的局部线性估计中的一个关键问题是带宽选择.本文利用CV泩则选择带宽(可参 见Yao和Tong15),具体步骤如卜 令b’=n-1/5,并以0.001为步长在间0.001b’,10h′范围內搜索Cv(h)最小值,从而确定均值函数带 宽h h= argmin CV(h)= argmin ∑(Y1-m:(X,h)2 h∈[0.001h,10h] h∈[0.001h′,10h w: (Xi)Yj 其中m1(Xb)=∑m(x 2.由步骤1确定均值函数带宽后,可得到均值函数的局部线性估计.令b=n-1/5,类似于步骤1可确 定方差函数带宽b, aren b∈0.001b,10b] 其中R2(Y,mh,0b)=∑ Yi-(Xi))2 在下面的所有例子中K(x)和V(x)分别取以下形式核函数,即 K(x)=0.75(1 ),V(x)=(2)-1 4.1模拟结果 例1设模型(1)中的误差项{6,=1,2.…,n}是独立同分布正态随机变量;{X;,=1,2,…,m}是独 立同分布随机变量,服从,1上的均匀分布;均值函数m(x)和方差函数o(x)分别为 m(ax)=0.6x2+d1(x>t),o(x)=0.2x+d2I(x>t2) (14) 第4期 齐培艳,等:异方差非参数回归模型均值与方差变点的小波估计与应用 为分析均值变点和方差变点在变点估计中的相互影响,我们分别给出了不同跳跃度、不同变点位置下均 值变点及方差变点的估计值,并计算其均方误差(MS)、样本标准差(Std).跳跃度d1,d2分别取0,0.3,0.6, 0.9四个值,样本容量n=256,512,N=200,重复1000次实验.小波函数选择v(x)=10,1/2)(x)-I/21(x (Harr小波),多分辨水平J=5.模拟结果见表1,2,3.从表1,2中不难看出均值变点和方差变点的位置 都得到较好的计.均值变点位置的估计的准确性与样本容量及其本身和方差变点的跳跃度有关.对固定的 d2,t1的MSE和Std随着d1的增大而减小;而对固定的d1,t1的MSE和Std随着d2的增大而增加.当样 本容量增大时,变点位置估计值的样本偏差、均方误差及样本标准差都有明显较小,估计更加准确.而方差 变点的估计受样本容量影响较小,当样本容量从n=256到n=512变点的估计值t2并没有明显变化.均 值变点是否存在对方差变点的佔计有较大影响但d1,d2对其影响不大,另外,两变点的发生时刻也会对变点 位置的估计造成影响.表3给出了当均值变点与方差变点同时发生时,均值变点与方差变点的估计.从表中 可以看出,当变点发生较早时,作为均值变点比作为方差变点估计值的MSE及Std要小;当变点发生在变点 尾部时,比较其样本偏差,MSE及Std可知,作为方差变点比作为均值变点估计的效果好.比较表3与表1, 2中的对应值,发现当均值变点与方差变点同时发生时,估计更加准确.这里取d1=d2=0.6,其它取值情况 结果与此类似 表1均值变点的估计值及其MSE和Std d2=0 d2=0.3 d2=0.6 d2=0.9 TL=256 MSE Std MSE Std MSE Std t1 MSE Std d1=0.30.34180.00870.08170.10690.03150.15210.51000.07640.17990.21440.03970.1801 d1=0.60.33500.00290.04110.33840.00380.04850.29600.01630.12750.37790.02140.1238 d1=0.90.33410.00280.04040.33420.00300.04310.30980.00310.05450.32080.00380.0578 n=512 1 MSE Std MSE Std MSE Std MSE Std d1=0.30.31980.00290.05110.30770.00480.06930.36850.01870.11840.37530.03680.1766 d1-0.60.31640.00120.02980.31970.00120.02890.32890.00580.07070.3850.01110.0979 d1=090.3170.00120.02980.:80.00140.0:29031860.00110.0276031110.0)210.0445 表2方差变点的估计值及其MSE和std d1-0 d1-0.3 d1-0.6 d1-0.9 7=256 1 MSE Std MSE Std MsE Std MSE Std d2=0.30.70760.00940.09650.64280.03670.18290.63230.01830.11800.53800.07160.2132 d2=0.60.69560.00920.09590.64630.02750.15700.70810.00810.08970.60790.05820.2230 d2=0.90.70160.01710.13060.71410.00660.07990.71610.0081008850.69250.01490.1219 n=512t MSE Std MSE Std MSE Std MSE Std d2=0.30.69680.00870.09350.67690.01140.10450.68910.01220.10990.66850.01810.1309 d2-0.60.69960.00750.08670.70180.00390.0627070600.00240.04870.69980.00840.0918 d2=0.90.69960.00740.08.590.69640.01210.10980.70660.00480.06890.68260.01700.1292 表3均值及方差变点的估计值及其MSE和Std(d1=d2=0.6) 均值变点 MSE Std 7=256=51271=256n=512n=256n=512 t1=t2=0.30.33890.30860.0480.00100.05150.0311 t1=t2=0.70.72140.70870.18380.01390.07940.0456 方差变点 MSE Std =256m=512n=256m=512m=256m=512 t1=t2=0.30.33830.30840.13300.15810.04680.0690 t2=0.70.69910.69890.02090.00890.14460.0456 42实例分析 例2本例分析1998年12月31日到1996年1月2日香港恒生指数的变化情况(m=742).原始数 据图可参见图1(a).用模型(1)拟合该组数据.并给出均值函数和方差函数的局部线性估计,带宽及核函数 的选择见本节开始部分选择b2作为小波分解函数,多分辨水平依据假设2及定理1,2分别可选Jn=7 994 系统工程理论与实践 第33卷 和J=6.图1(b),(c)分别是均值函数和方差函数的小波系数图,通过分析,发现均值在k1=280处发生 变化、对应着1997年11月14日,可能受到金融危机的影响,恒生指数从10月底开始明显减小.在k1之 后的指数的平均值(9596)明显低于在此之前的平均值(12539).方差变点发生在k2=303,对应的H期为 1997年10月14日,在此附近横生指数下跌10.1% 例3图2(a)是鲁北化工2005年12月6日到2004年12月1日的股票收盘价(m=256),用模型 (1)模拟该组数据.估计其均值函数和方差函数,并进行小波分解,其中核函数、带宽、小波函数及多分辨水 平的选取类似于例2.观察经验小波系数,发现均值的小波系数在k1=140处达到最大,而方差的小波系数 在k2=230处值明显大于其它点处的取值(见图2(b),(c),这说明均值在k1(2005年5月27日)及方差在 k2(2004年12月31日)处可能存在变点通过分析股票价格,发现从2005年5月27日到2005年12月6 日的股票价格比2004年12月1日到2005年5月27日的股票价格平均低29.5%;而在2004年12月31 H这一时刻,股票价格出现了17.2%的大幅波动 20 10 100200300400500600700800 0400600800 400600800 图1(a)原始数据图;(b)均值函数小波系数图,Jn=7;(c)方差函数小波系数图,Jn=6 6.5r 0.16 0.1 08 0.1 0.05 35 100 图2(a)原始数据图;(b)均值函数小波系数图,Jn=5;(c)方差函数小波系数图,Jn=4 5结束语 金融市场中,受突发事件的影响反映资产平均收益的均值函数和反映资产收益波动的方差函数郁有可能 出现变点.本文考虑均值和方差均存在变点的非参数回归模型的变点估计问题.在给出均值函数和方差函数 局鄙线性估计的基础上,利用小波系数方法估计均值与方差变点的位置,并推导出其收敛速度模拟结果表明 均值变点和方差变点都得到了较好的估计,且变点佔计的准确性受跳跃度、样本容量及变点位置的影响.同 时还讨论了均值与方差变点之间的相互影响.最后将本文方法应用到香港恒生指数和一组股票价格数据的 均值与方差变点的估计中,分别得到均值变点与方斧变点发生时刻的估计值,说明了本文方法的实用性.此 类模型的变点的检测及多变点分析是我们正在研究的问题 第4期 齐培艳,等:异方差非参数回归模型均值与方差变点的小波估计与应用 995 参考文献 山]陈希儒.变点统计分析简介团.数理统计与管理,1991,20(2):52-59 Chen X R. 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