### 第三章 回归模型的扩展：异方差性
#### 一、概述
本章节主要内容涵盖了回归模型的基本概念及扩展，特别是针对古典回归模型基本假设不成立时产生的问题进行了深入探讨。其中包括异方差性、序列相关性、多重共线性以及随机解释变量等问题。此外，还讨论了如何通过引入定性和滞后因素来构建更复杂的模型。
#### 二、异方差性的定义与分类
**异方差性**是指在回归分析中，对于不同的观测值，随机误差项的方差不再是常数，而是呈现出不同的值。这种现象违反了经典线性回归模型中的同方差性假设，即随机误差项的方差是恒定的。
##### 1. 异方差的概念
- **同方差性假定**：假设随机误差项的方差为常数，即 \(\sigma_i^2 = \text{常数}\)。
- **异方差性时**：随机误差项的方差随解释变量的变化而变化，即 \(\sigma_i^2 = f(X_i)\)。
##### 2. 异方差的类型
异方差性通常可以分为以下几种类型：
- **单调递增型**：随着解释变量 \(X\) 的增加，随机误差项的方差也随之增加。
- **单调递减型**：随着解释变量 \(X\) 的增加，随机误差项的方差反而减少。
- **复杂型**：随机误差项的方差与解释变量的变化呈现出复杂的关系，没有明显的单调性。
#### 三、实际经济问题中的异方差性案例
- **居民家庭储蓄行为**：在研究居民家庭的储蓄行为时，随着家庭收入水平的提高，其储蓄的差异也越来越大。这意味着高收入家庭的储蓄差异较大，而低收入家庭的储蓄相对更为稳定，表现出单调递增型的异方差性。
- **居民消费函数**：根据绝对收入假设，使用截面数据建立居民消费函数时，由于居民收入分布的特点（中间多两端少），导致不同收入水平下的样本观测值的误差有所不同，呈现出U型变化的异方差性。
- **企业生产函数模型**：以企业产出量作为被解释变量，资本、劳动和技术等因素作为解释变量时，不同企业的外部环境对产出量的影响程度不同，这可能导致随机误差项的方差呈现出复杂型的变化。
#### 四、异方差性的后果
- **参数估计量非有效**：即使OLS估计量仍然保持无偏性，但在异方差情况下，它们不再是最有效的估计量。这意味着估计量的方差不是最小的。
- **无法正确估计系数的标准误差**：标准误差的计算公式基于同方差性假设，因此在异方差的情况下，使用该公式会导致标准误差的估计产生偏差。
- **变量的显著性检验失去意义**：由于标准误差的估计不准确，基于此的t检验和其他检验结果也将不可靠。
- **模型的预测失效**：上述后果导致模型的预测精度下降，预测功能受到影响。
#### 五、异方差性的检验方法
- **图示法**：通过对解释变量和因变量的散点图进行观察，寻找是否存在明显的散点扩大、缩小或复杂型的趋势。
- **帕克(Park)检验与戈里瑟(Gleiser)检验**：通过建立残差序列对解释变量的辅助回归模型，尝试不同的函数形式，如线性、对数等形式，来检测是否存在异方差性及异方差的具体形式。
通过上述讨论可以看出，异方差性是回归分析中一个非常重要的问题，它不仅影响到参数估计的有效性，还会对模型的预测能力和统计推断造成严重影响。因此，在进行回归分析时，识别并处理异方差性是非常必要的。
