复合泊松分布是概率论中的一个基本概念，尤其在保险、金融和排队理论等领域中具有广泛的应用。在2007年的这篇文章中，作者通过研究复合泊松分布的无穷组合与分拆性质，对Gerber H. U.的经典理论成果进行了改进和扩展。
我们来理解复合泊松分布的基本定义。复合泊松分布是与泊松过程相关的一种分布形式，它来源于对多个独立同分布的随机变量进行求和的操作。具体来说，如果有一系列独立同分布的随机变量{Xk, k≥1}，和一个泊松分布的随机变量N，那么复合泊松随机变量可以定义为S=∑k=1NXk。在这个定义中，N表示在某段时间内发生事件的次数，而Xk表示第k次事件发生时的赔付额。在保险行业中，S可以看作是保险公司在一个特定期间的总赔付额。
文章中提到，为了方便讨论，使用了一些概念和符号。比如，在复合泊松模型中，符号“~”表示的是随机和的意思，如果有一系列随机变量{Xk, k≥1}，且这些变量是独立同分布的，还有一个泊松分布的随机变量N，与{Xk}相互独立，则复合泊松随机变量S可以表示为S=∑k=1NXk。这里，{Xk}代表每次赔付的金额，N是特定期间内赔付的次数。
Gerber H. U.在研究复合泊松分布时提出了两个重要的性质，即组合（Composition）和分解（Decomposition）属性。组合属性涉及的是如何将不同的复合泊松分布结合在一起，形成一个新的复合泊松分布。分解属性则是指从一个复合泊松分布中，按照某种方式拆分出其它的复合泊松分布。这两项属性对于分析和理解复合泊松分布具有重要意义。
文章的研究扩展了Gerber H. U.的理论到无穷的情况。作者通过引入了新的概念和符号来定义复合泊松分布的无限组合和分拆，提供了更广泛的理论框架。具体地，对于任意两个实数x和r，定义x∧r=min(x,r)，对于任意实数x，定义x+∞=max(0,x)。如果存在一个随机变量S，它可以表示为某一时间区间内一系列独立随机变量的和，那么这样的S如果满足一定条件，就可以称其服从复合泊松分布，用S-CP(λ,F)来表示，这里λ>0。
文章通过对这些性质的深入探讨，不仅改进了Gerber H. U.的经典结果，还为保险等领域提供了更有效的分析工具。例如，在保险业的分层保险（Layer Insurance）模型中，复合泊松分布可以被用来描述不同层次保单的赔付风险。分层保险涉及将风险分层处理，每一层对应一定的赔付限额，通过对复合泊松分布性质的研究，保险公司能够更好地评估和管理这些风险。
文章在数学上所进行的改进主要集中在对复合泊松分布的更一般化处理上，通过分析不同情况下的组合和分拆操作，推导出了更为精细的数学关系和定理。这些理论成果的提出不仅丰富了复合泊松分布的理论体系，而且对于依赖于该分布的相关领域的研究工作具有重要的指导意义。
总体来看，这篇文章通过展示复合泊松分布的无穷组合与分拆的性质，并对Gerber H. U.的经典结果进行了改进，为复合泊松分布理论的发展做出了新的贡献。这些贡献不仅提升了理论的深度和广度，也为实际应用提供了新的视角和工具，尤其是在风险管理和保险精算等领域。
