在研究有限群论的过程中，有限群的性质和结构一直是数学家们关注的重点之一。有限群中的阿贝尔子群（Abel子群）作为一类特殊的子群，其研究具有重要的理论价值和实际应用背景。在1987年发表的一篇论文中，作者李登信对早期研究者E.A.Berl-am在其文献中提出的关于有限群的阿贝尔子群阶的一个定理给出了一个简化的群论证明，并就提出的问题给出了两个必要条件。下面详细阐述这些知识点。
有限群的阿贝尔子群的阶是指阿贝尔子群中元素的数量，也就是该子群的大小。阿贝尔群是交换群，即其中任意两个元素的乘积满足交换律。而所谓有限群，指的是群中元素的个数有限。
接着，我们来看阿贝尔子群的阶的一个定理。定理表述为：对于一个有限群G，如果其共轭类按照包含元素的个数从小到大排列，并考虑中心化子的基数，那么存在一个最小的整数m，使得G的每个阿贝尔子群A的阶数IAI不会超过前m个共轭类元素个数之和。中心化子C(x)表示群G中所有与元素x可交换的元素构成的集合，其基数表示该集合中元素的数量。
在文章中，作者首先给出了定理1的一个简化的证明。该证明使用的是纯群论的方法，并指出原来文献中的证明依赖于图论的深刻定理，而自己提供的方法更为简单。这一成果不仅简化了证明过程，还可能为群论的研究提供新的视角。
除了定理1的证明外，文章还提出了两个必要条件。这两个条件涉及到群的共轭类和中心化子，并且与定理中等号成立的充分必要条件有关。这意味着，对于某些特定的阿贝尔子群，若想使得定理中的不等式取等号，必须满足这些必要条件。
具体来说，第一个必要条件是关于有限群G及其阿贝尔子群A，以及G的共轭类和中心化子的基数。该条件要求存在一个元素a属于阿贝尔子群A，使得a的共轭类的基数小于等于对应的中心化子的基数。这里的共轭类是指G中所有与元素x共轭的元素构成的子集，而中心化子指的是所有与x可交换的元素构成的子集。
第二个必要条件关注于满足定理中不等式取等号的最小整数m。对于这个最小整数m，作者提出了一个命题，即如果G的一个阿贝尔子群A的阶数恰好等于前m个共轭类元素个数之和，那么A中的任意元素的共轭类基数不超过其对应的中心化子的基数。
文章最后还提供了一个推论，即如果存在一个阿贝尔子群A，使得A的阶数大于等于前m个共轭类元素个数之和，那么存在一个元素a属于A，使得a的共轭类的基数等于其对应的中心化子的基数。
总结来说，李登信在其文章中，不但对之前的研究成果进行了简化和改进，还就提出的条件给出了更深刻的分析，这两个必要条件和推论，为有限群阿贝尔子群阶的研究提供了新的视角和工具。这些工作不仅丰富了有限群理论的研究内容，也对后续的相关研究产生了积极的影响。
