子群是群论中的基本概念，它是指群G的一个非空子集合H，且H对G的群运算封闭，也就是说，对于H中的任意两个元素a和b，它们的积ab也在H中。正规子群是子群的一个特殊类型，具有更强的性质。在群G中，如果对于每个元素a属于G，都有aNa^(-1) = N，那么子群N被称为正规子群。这里的aNa^(-1)表示的是a作用于子群N的结果，即先乘以a，后乘以a的逆。
正规子群的一个关键特性是它的左陪集和右陪集是相同的，这使得正规子群在群的商群构造中扮演着重要角色。例如，群G除以正规子群N得到的商群G/N，其元素是N的左陪集或右陪集，这保证了商群的结构是良好的。
特征子群是群G的子群N，它对G的所有自同构都保持不变，即对任意自同构φ和N中的元素n，都有φ(n)仍在N中。这意味着N的性质不会因群结构的变化而变化。特征子群是正规子群的一个特例，因为内自同构是所有自同构的一部分，所以如果一个子群对内自同构不变，那么它对所有自同构也必定不变。因此，特征子群一定是正规子群，但反之不成立。
全特征子群则是更进一步的概念，它不仅对所有的自同构不变，而且对所有的自同态映射也保持不变。这意味着，无论群G的元素如何映射，全特征子群的元素总是保持在子群内部。全特征子群也是特征子群，但特征子群不一定是全特征子群，这一点可以通过具体的例子来证明，比如在整数域Z上的2阶线性群GL(Z)的中心就不是一个全特征子群。
通过以上讨论，我们可以总结出正规子群、特征子群和全特征子群之间的关系：
1. 所有正规子群都是特征子群，因为内自同构是自同构的一种。
2. 特征子群不一定全特征子群，即对自同态映射可能不保持不变。
3. 全特征子群是特征子群，因为它对所有自同构和自同态映射都保持不变，但特征子群不一定是全特征子群。
这些关系在群论的深入研究中有着重要的应用，特别是在理解群的结构、同态和商群等方面。例如，正规子群在模运算和同态理论中起到基础作用，而特征子群和全特征子群则可以帮助我们更好地理解和刻画群的不变性。这些概念在代数系统的一般理论以及密码学、拓扑学、数学物理等领域都有广泛的应用。
