对任意群G,Frattini子群Frat(G)定义为G的极大子群的交。作者给出了任意群G的另外两种广义Frattini子群psnFrat(G)和pscFrat(G),分别定义为指数为素数方幂Ps的极大正规子群的交和指数为素数方幕p的极大特征子群的交,其中p为任意素数,并且研究了这两类子群的性质,证明了它们具有与Frat(G)类似的基本性质。
### 群的Frattini子群的进一步推广
#### 概述
在群论的研究领域，Frattini子群一直扮演着极其重要的角色。它不仅揭示了群内部结构的关键特性，还在研究群的生成性方面提供了深刻的见解。1885年，Frattini首次提出了Frattini子群的概念，即一个群的所有极大子群的交集。自此之后，Frattini子群的定义及其性质成为了群论中的一个重要研究方向。
#### Frattini子群的基本概念
对于任意群\( G \)，Frattini子群\( \text{Frat}(G) \)定义为\( G \)的所有极大子群的交。极大子群是指在群\( G \)中除了自身和整个群\( G \)外没有其他真包含它的子群。因此，\( \text{Frat}(G) \)可以被视为所有非生成元元素的集合，即不属于任何真子群生成集的元素。
#### 广义Frattini子群的定义
在《群的Frattini子群的进一步推广》一文中，作者提出了一种新的广义Frattini子群的概念，分别为\( \rho^n\text{Frat}(G) \)和\( \rho^c\text{Frat}(G) \)。这两种新定义的子群扩展了原有的Frattini子群的概念，具体如下：
1. **\( \rho^n\text{Frat}(G) \)**：定义为指数为素数方幂\( \rho^n \)的极大正规子群的交。
- 极大正规子群是指在群\( G \)中除了自身和整个群\( G \)外没有其他真包含它的正规子群。
- \( \rho \)表示任意素数，\( n \)为正整数，意味着这些极大正规子群的指数必须为某素数的幂。
2. **\( \rho^c\text{Frat}(G) \)**：定义为指数为素数方幂\( \rho \)的极大特征子群的交。
- 极大特征子群是指在群\( G \)中除了自身和整个群\( G \)外没有其他真包含它的特征子群。
- 同样地，\( \rho \)表示任意素数，意味着这些极大特征子群的指数必须为某素数的幂。
#### 广义Frattini子群的性质
作者在论文中研究了\( \rho^n\text{Frat}(G) \)和\( \rho^c\text{Frat}(G) \)的性质，并证明了它们具有与传统Frattini子群\( \text{Frat}(G) \)类似的基本性质。以下是一些关键的性质：
1. **封闭性**：对于任意的群\( G \)，\( \rho^n\text{Frat}(G) \)和\( \rho^c\text{Frat}(G) \)都是\( G \)的子群。
2. **真子群性**：如果\( G \)不是循环群，则\( \rho^n\text{Frat}(G) \)和\( \rho^c\text{Frat}(G) \)都是\( G \)的真子群。
3. **非生成性**：\( \rho^n\text{Frat}(G) \)和\( \rho^c\text{Frat}(G) \)都包含了所有不能仅通过群\( G \)的一个真子群来生成的元素。
4. **正规性和特征性**：由于\( \rho^n\text{Frat}(G) \)由极大正规子群定义，而\( \rho^c\text{Frat}(G) \)由极大特征子群定义，因此它们分别是\( G \)的正规子群和特征子群。
5. **与原有Frattini子群的关系**：当\( \rho = 2 \)时，\( \rho^n\text{Frat}(G) \)和\( \rho^c\text{Frat}(G) \)分别退化为传统的Frattini子群\( \text{Frat}(G) \)。
6. **指数限制**：由于\( \rho^n\text{Frat}(G) \)和\( \rho^c\text{Frat}(G) \)是由指数为素数方幂的子群定义的，因此这些子群的元素数量和结构受到素数\( \rho \)的影响。
#### 结论
通过引入\( \rho^n\text{Frat}(G) \)和\( \rho^c\text{Frat}(G) \)的概念，作者不仅扩展了传统Frattini子群的定义范围，还为理解群的结构提供了新的视角。这些新的广义Frattini子群不仅继承了传统Frattini子群的一些基本性质，而且在某些情况下还能提供更细致的结构分析。这对于进一步研究群的性质、理解群的内部结构以及探索群的生成性等方面都具有重要意义。
