文章主要研究了奇、偶双随机矩阵及其（奇、偶）积和式的有关问题。一方面，通过分析双随机矩阵的奇偶性，说明了刻画奇双随机矩阵和偶双随机矩阵的等价性；另一方面，参照双随机矩阵其积和式的下确界问题（即著名的Van der Waerden-Egorychev-Falikman定理），对奇、偶双随机矩阵其（奇、偶）积和式的确界问题分别进行了探讨。
### 奇、偶双随机矩阵及其积和式的若干注记
#### 一、双随机矩阵的奇偶性
在本文中，我们首先探讨了双随机矩阵的奇偶性问题。双随机矩阵是指一个实非负方阵，其每一行及每一列的元素之和都等于1。这一类矩阵在组合数学、概率论以及统计学等领域中有着广泛的应用。
对于一个n阶双随机矩阵\( D \)，我们可以通过分析其构成来判断它是奇双随机矩阵还是偶双随机矩阵。具体而言：
- **偶双随机矩阵**：指那些能够表示为偶置换矩阵凸组合的矩阵。
- **奇双随机矩阵**：指那些能够表示为奇置换矩阵凸组合的矩阵。
根据黄宇飞的研究，在\( n \)阶双随机矩阵的集合中，存在既奇又偶的矩阵，这表明偶双随机矩阵和奇双随机矩阵之间并非绝对对立的关系。
#### 二、置换矩阵的奇偶性
- **奇置换矩阵**：如果一个置换τ属于所有n元奇置换集合\( O_n \)，那么由τ生成的置换矩阵是奇置换矩阵。
- **偶置换矩阵**：如果一个置换τ属于所有n元偶置换集合\( A_n \)，那么由τ生成的置换矩阵是偶置换矩阵。
这里提到的置换矩阵是由置换τ生成的\( n \times n \)阶矩阵，其中每个位置上的元素为\( \delta_{\tau(i),j} \)，当\( \tau(i) = j \)时取值为1，否则为0。
#### 三、奇偶双随机矩阵的刻画
为了更好地理解奇偶双随机矩阵，黄宇飞等人提出了以下几个关键观点：
1. **引理1.1**：交换一个奇置换矩阵的任意两行（或列）所得矩阵为偶置换矩阵；交换一个偶置换矩阵的任意两行（或列）所得矩阵为奇置换矩阵。
2. **命题1.2**：如果\( D \in \mathcal{S}_n \)（偶双随机矩阵集合），那么交换\( D \)中的任意两行（或列）所得矩阵属于\( \mathcal{B}_n \)（奇双随机矩阵集合）；反之，如果\( D \in \mathcal{B}_n \)，则交换\( D \)中的任意两行（或列）所得矩阵属于\( \mathcal{S}_n \)。
这些结果揭示了奇双随机矩阵与偶双随机矩阵之间的内在联系。
#### 四、奇偶积和式的确界问题
接下来，我们关注奇偶双随机矩阵的（奇、偶）积和式的确界问题。这个问题是基于著名的Van der Waerden-Egorychev-Falikman定理提出的，该定理涉及到双随机矩阵的积和式的下确界。
- **Van der Waerden-Egorychev-Falikman定理**：对于任意的\( n \)阶双随机矩阵\( D \)，其积和式（即所有元素的乘积之和）的最小值为\( \frac{1}{n!} \)。
针对奇、偶双随机矩阵的积和式，黄宇飞等人进行了更深入的研究，探讨了奇积和式和偶积和式的确界问题。具体来说：
- **奇积和式**：对于奇双随机矩阵，其积和式的下确界是什么？
- **偶积和式**：对于偶双随机矩阵，其积和式的下确界是什么？
通过对奇偶双随机矩阵的结构进行细致分析，研究者们尝试找出奇积和式和偶积和式的精确下确界，这有助于我们更深刻地理解双随机矩阵及其在实际应用中的表现。
#### 五、总结
本文从奇偶双随机矩阵的角度出发，探讨了这类特殊矩阵的性质及其积和式的确界问题。通过理论分析与数学证明，我们不仅加深了对双随机矩阵的理解，还为进一步的研究提供了新的视角和思路。
