在自然科学领域中，泛函微分方程作为一类重要的数学模型，被广泛应用于描述物理、生物、工程技术等领域的动态过程。周期解是指在一定条件下，方程的解函数具有周期性质，即解在时间轴上会以固定周期重复出现。周期解的存在性是泛函微分方程理论研究的核心问题之一。
本研究简报《一类泛函微分方程周期解的存在性及其表达式》发表于2008年，作者郭丽、朱鲜野、孙纪方通过周期解配成恰当微分方程产生法，提出了泛函微分方程周期解存在的充分条件，并运用分步求解法，给出了相应的周期解表达式。研究内容涵盖了数学分析、泛函分析、微分方程理论等多个数学领域。
恰当微分方程（也称全微分方程）是微分方程理论中的一个重要概念。如果一个微分方程可以表示为某个函数关于自变量的全微分，则该方程被称为恰当微分方程。求解恰当微分方程的一个常用方法是寻找一个原函数，使得微分方程中的每一项都是该原函数的偏导数。这种方法可以简化方程的求解过程。
分步求解法是处理复杂数学问题时常用的一种策略，通常是指将一个复杂问题分解成若干个较简单的问题，依次解决每一个子问题，最终达到解决整体问题的目的。在微分方程领域，分步求解法可以用来处理高阶微分方程，或是将非线性微分方程简化为线性微分方程来求解。
关键词“周期解”、“恰当微分方程”和“分步求解法”都直接关联到文章的核心内容。文章中，作者采用了特定的符号和术语，例如x′(t)表示函数x(t)关于时间t的导数，f表示某个给定的函数，λ和α则是方程中的参数，它们满足特定的条件，以确保周期解的存在。文章中还出现了一些数学工具，如反函数F的引入、Lipschitz连续条件等，这些工具在数学分析和方程求解中扮演着关键角色。
本研究简报中的具体研究对象是一类特殊的泛函微分方程。这类方程与时间滞后有关，其形式为x′(t) = -λf(x²(t) + x²(t - 1) + α)x(t - 1)，其中参数λ和α为实数，且λ大于0。通过恰当微分方程的构造和分析，结合分步求解法，研究者给出了这类方程周期解存在的充分条件，并给出了周期解的具体表达式。
此外，文章中还提供了证明过程，证明了在满足特定条件下，所研究的方程具有周期解，解函数x(t)可以表示为cπt的形式，其中c是满足特定条件的常数。通过构造微分方程组，并利用已有的数学理论，研究者进一步阐明了周期解的性质和特征。
研究简报指出，泛函微分方程及其周期解问题已经得到了广泛的研究。文中引用了先前的研究成果，并在此基础上进一步探讨了新的问题。通过引入恰当微分方程方法和分步求解法，作者解决了泛函微分方程周期解的存在性和表达式问题，这不仅丰富了数学理论，也为相关领域的实际问题提供了解决方案。
本研究简报的发表，对于数学理论的发展和应用都具有重要意义。泛函微分方程的研究不仅在理论上具有挑战性，而且在控制论、生态学、经济学等领域具有广泛的应用前景。周期解的存在性及其表达式的确定，有助于更好地理解和预测相关系统的动态行为。
