本文讨论方程Lnx(t)+m∑j-0b1(t)fi(x(t-t1(t))=p(t)其中Ln=1/pn(t)d/dt1/pn-1(t)…1/p1(t)d/dtp0(t))解的渐近性质,给出了解有界及解趋子零的判定准则。
### 一类滞后型泛函微分方程解的渐近性
#### 摘要
本文探讨了一类特定形式的滞后型泛函微分方程的解的渐近性质。该方程形式为 \(L^n x(t) + \sum_{j=0}^m b_j(t) f_j(x(t - \tau_j(t))) = p(t)\)，其中 \(L^n\) 是一个包含 \(n\) 阶导数的算子。通过分析方程的解的有界性和渐近性，给出了这些解有界以及趋向于零的判定准则。特别地，当系数函数 \(p_0(t), \ldots, p_{n-1}(t)\) 不可微时，这类问题之前尚未被充分研究。
#### 关键词
滞后型泛函微分方程；有界性；渐近性；判定准则
#### 引言
滞后型泛函微分方程在理论和应用中都具有重要意义，特别是在控制论、电路理论和生物学等领域。此类方程通常涉及时间延迟项，使得问题的解决变得复杂。本文主要关注的是方程
\[
L^n x(t) + \sum_{j=0}^m b_j(t) f_j(x(t - \tau_j(t))) = p(t),
\]
其中 \(L^n = \frac{1}{p_n(t)}\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{p_{n-1}(t)}\ldots \frac{1}{p_1(t)}\frac{d}{dt}p_0(t)\right)\)。
#### 主要结果
##### 解的存在性和唯一性
对于不含延迟项的方程 \(L^n x(t) = 0\)，存在 \(n\) 个线性独立的非零解 \(x_k(t)(k=0,\ldots,n-1)\)，这些解满足初始条件：
\[
L^0 x_k(t_0) = \delta_{k,0}, L^1 x_k(t_0) = \delta_{k,1}, \ldots, L^{n-1} x_k(t_0) = \delta_{k,n-1},
\]
其中 \(\delta_{k,i}\) 是克罗内克符号。这些解构成了方程的基本解组。
##### 解的有界性和渐近性
为了研究方程 (1) 的解的有界性和渐近性，我们引入以下引理：
**引理1**：对于不含延迟项的方程 \(L^n x(t) = 0\)，存在 \(n\) 个非零解 \(x_k(t)(k=0,\ldots,n-1)\)，它们满足 \(L^0 x_k(t) \cdots L^{n-1} x_k(t) = 1\)。
**证明**：根据基本解组的构造方法，可以构造出满足这些条件的解。此过程略去。
**引理2**：如果 \(x_k(t)(k=0,\ldots,n-1)\) 是方程 \(L^n x(t) = 0\) 的解，且满足上述条件，则方程 (1) 在给定初始条件下的解 \(x(t)\) 可表示为：
\[
x(t) = \sum_{i=0}^{n-1} c_i x_i(t) + \int_{t_0}^t \Delta e_i ds,
\]
其中 \(\Delta e_i\) 依赖于积分项和初始条件。
**证明**：通过对方程 (1) 进行积分变换，并利用 \(x_k(t)\) 的性质，可以推导出上述表达式。
##### 渐近行为分析
接下来，我们考虑解的渐近行为。当时间 \(t\) 趋向于无穷大时，解的行为取决于系数函数 \(b_j(t)\) 和 \(f_j(x)\) 的性质。例如，如果所有 \(b_j(t)\) 均收敛到常数，而每个 \(f_j(x)\) 均有界，则解可能趋于某个有限值或者周期振荡。更具体地，当 \(b_j(t)\) 和 \(f_j(x)\) 满足一定条件时，我们可以得到解趋于零或有界的结论。
#### 结论
本文提出了一类滞后型泛函微分方程的解的有界性和渐近性的判定准则。通过对方程的结构进行深入分析，我们得到了解有界和趋向于零的具体条件。这些结果为理解和分析此类方程提供了重要的理论基础，同时也为实际应用中的模型建立和控制策略设计提供了指导。
#### 展望
未来的研究可以从以下几个方面展开：可以考虑更加复杂的非线性项和非线性延迟项的影响；对于系数函数不可微的情况，可以进一步探索解的性质和稳定性；还可以考虑将这些理论应用于实际问题中，如电路系统、生物种群动态等，以解决实际工程和科学问题。
