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ARFIMA模型在金融时间序列的应用

刘强，余冬玲，周煜

湘潭大学数学与计算科学学院，湘潭　411105

摘要：本文系统地讨论了如何对分整自回归移动平均(Autoregressive fractionally integrated

moving average, ARFIMA)模型进行参数估计以及相应的建模。具体来说，三种方法ADF、

PP和KPSS三种方法被用来检验上证指数和深证成指两条序列的平稳性，并用经典的R/S分析

法和修正的R/S分析法以及V/S分析法来分析两条序列的长记忆性。结论显示一致支持上证和

深证的日收益序列都有长记忆性，而且上证序列的长记忆性比深证的强。基于长记忆性的检验

结果，本文对两条序列采用B-J 方法进行ARFIMA建模。通过信息准则比较确定为，

ARFIMA(6, 0.1520, 2)是描述上证日收益序列长记忆性最合适的模型，

ARFIMA(5, 0.1282, 2)是描述深证成指日收益序列长记忆性最合适的模型。通过实证研究得出，

我国股市中确实存在长记忆性，但中国股市缺乏有效性。

关键词：长程相关性；ARFIMA模型；R/S 分析法

中图分类号： O29

Application of ARFIMA model in ﬁnancial time

series

Liu Qiang , Yu Dong-Ling , Zhou Yu

School of Mathematics and Computer Science, Xiangtan University, Xiangtan 411105

Abstract: This paper systematically discusses the parameter estimation and modeling of the

integral autoregressive moving average (ARFIMA) model in real-life case studies. ADF, PP,

and KPSS are ﬁrst employed to test the stationarity of the Shanghai and Shenzhen composite

index. Then long-range correlation is measured for these two series using the R/S, modiﬁed

R/S, and V/S analysis. The results demonstrates that the daily revenues sequences of

Shangzhen and Shenzhen have long-range correlation but the former’s is stronger. Based on

the estimated long-range correlation, the B-J method is employed to construct the ARFIMA

model for two series. ARFIMA(6, 0.1520, 2) and ARFIMA(5, 0.1282, 2) are speciﬁed as the

best model to describe the Shangzhen and Shenzhen daily revenue series, based on the

基金项目：教育部博士点新教师基金（20124301120004）

作者简介：刘强（1991-），男，硕士，主要研究方向：时间序列模型的应用,E-mail:805661329@qq.com。

通信作者：周煜（1982-），男，博士，副教授，主

要研究方向：非线性时间序列分析以及应用.E-mail:zynova@hotmail.com

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comparison of information criteria. It can be concluded from this case study there is indeed

long-range correlation in China’s stock market, which invalidates the eﬃcient markets

hypothesis in China.

Key words: long range correlation；ARFIMA model；R/S analysis method.

0 引言

传统时间序列分析的模型主要有Autoregressive (AR)模型， Moving Average (MA)，

Autoregressive Moving Average (ARMA)及Autoregressive Integrated Moving Average (ARI-

MA)等。但这些模型都是建立在相距较远的两个值之间完全不相关或几乎没有联系的基前提

下。人们称自回归函数呈指数率迅速衰减的时间序列是有短记忆性的。

有效市场假说(Eﬃcient Markets Hypothesis, EMH)[1, 2]被视作资本市场理论的基石，在过

去的近半个世纪时间里一直被经济学家看作经典。然而，EMH 在近年来受到越来越多的挑战。

现实中，市场呈现的是非线性的性质，并非EMH所认为的线性性，这就使得EMH在研究许多

市场现象时变的没有说服力。有效市场假说即，有效市场在把所有的公开信息如基本状况、历

史价格和其他外界因素等都计算在内后才确定价格，因此，价值只有在收到新的有效信息时才

会发生变化。今天的价格与昨天的价格没有关系[3]，他们是相互独立的，是随机游走的变量，

也就是p

t+1

= p

+ a

t+1

,其中{a

} 是服从白噪声的序列，影响价格未来变动的只是下一刻的有

效信息{a

t+1

}，而与以往价格没有联系。目前这一理论遇到了严重的质疑和挑战[4]，它已不能

有效地解释实际中金融序列波动的持续性和复杂性，比如：（1）金融市场价格波动体现出的

非线性，是EMH无法解释的；（2）收益序列的尖峰厚尾性向随机游走中的正态分布假设提出

挑战；（3）EMH无法解释以下现象：超额收益的存在、小公司效应、一月效应、金融危机等。

以上说明EMH 这一理论体系太过于理想化，它的假设基础恰是其局限性所在。近期，人们对

失业率，GNP，汇率，股票价格和通胀率等数据的研究发现，经济时间序列中普遍具有这样一

种现象：远距离观测值的相依性较小，却仍然不能被忽略，称为长记忆性。因此传统时间序列

分析中的建模工具已经不能满足研究需求，从而急需新的理论系统来解释上述一类的现象。

近些年，科研人员努力把自然科学发展起来的新方法如混沌理论、分形理论等延伸于金

融领域中[5]。众多的研究发现，长记忆性可能存在于多数的金融时间序列里，若是事实，那

现代金融理论的一些重要成果将受到严重的质疑和挑战。现代投资理论中的资产定价模型以

及在EMH下的其它经济理论的可信度将受到很大冲击。国外大量研究表明，发达市场往往不

具有长记忆性，即使具有长期记性性，其程度也相对较弱。发展中国家尤其我国股市与国外

相比，市场的有效程度较弱。因此，对我国股市长记忆性的研究具有重大的意义。国内这方

面的研究主要集中在用Autoregressive fractionally integrated moving average (ARFIMA)模型

或Fractional Integrated Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (FIGARCH)模型来判

断金融时间序列有无长记忆性。

ARFIMA建模的关键步骤是分数阶差分，得到满足零均值的ARMA序列，再按照估

计ARMA的方法进行参数估计。当前对分数差分的研究还是在理论层面，大多数的学者在进行

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实证研究分析时都是使用一阶差分甚至更高阶差分代替分数阶差分，进而出现的问题便是过

度差分，丢失有效信息太多，同样在参数的估计和预测中也会出现偏差。分数阶差分本质上

由对应序列的长记忆性所决定。特别地，在金融时间序列分析领域已经有了很多长记忆性的

各种统计方法[6]。一般来说，常见的方法有样本自相关函数检验法，Rescaled Range (R/S)分

析[7]，修正的R/S分析[8]，周期图方法[9]，Detrended Fluctuation Aanalysis (DFA)[10]，小波

分析[11]，残差分析法等。一些研究支持无长记忆性的观点，另一些研究的观点是支持长记忆

的存在。 Panas[12]经研究证实大多数序列呈现长记忆性，邹新月[13]对于深圳综合指数的日收

益绝对序列进行了研究，表明我国深圳股市存在较显著的长记忆性。王春峰、张庆翠[14]等使

用经典的R/S方法研究我国沪深两市证券收益的长记忆性，发现其收益序列均有较强的长记

忆。徐龙炳、陆蓉[15]、史永东[16]和王明涛[17] 等人应用经典R/S 研究了我国的股票市场，发

现股市收益序列存在较强的长记忆。陈梦根[8]在2003年使用修正的R/S法法对沪深两市进行了

研究，得出的结论是沪深两市的股票指数不具有长记忆性，少数个股有长记忆性的特征。本文

将重点讨论ARFIMA[18]模型的性质以及相应的参数估计, 并由此来建立相应的ARFIMA模型

和通过实例说明其在金融时间序列中的应用。

1 方法

1.1 ARFIMA

ARFIMA模型不仅仅考察预测变量的过去值和当前值，而且对模型同过去值拟合

产生的误差也作为重要因素考虑进模型，对提高模型的精确度有很大改善。具体来说，

Granger和Hosking分别提出了分数整合自回归移动平均模型即ARFIMA 模型如下[18]：

若平稳时间序列{x

}，满足差分方程

φ(L)(1 − L)

− µ) = θ(L)a

其中，L为滞后算子，−0.5 < d < 0.5，{a

}为白噪声序列，µ为{a

}的均值。 φ(L)和θ(L)

分别是p阶和q 阶的自回归算子，即

φ(L) = 1 − φ

L − φ

− · · · − φ

(L) = 1 − θ

L − θ

− · · · − θ

若序列的所有特征根均落在单位圆外，则称{x

}满足分数整合自回归移动平均模型，记

作ARFIMA(p, d, q)。特殊的，若d = 0，则模型变为ARMA(p, q)模型；若d = p = 0，模型变

为MA(q)模型；若d = q = 0，模型变为AR(p)模型。

当0 < d < 0.5时，ARFIMA具有长期记忆性，又称长程正相关性；当−0.5 < d < 0时，

ARFIMA具有短记忆性；当0.5 < d < 1时，ARFIMA具有均值回复特征。

若 {x

} 是服从 −0.5 < d < 0.5 的ARFIMA(p, d, q) 过程，当且仅当(1 − L)

− µ)是

一个ARMA(p, q)过程，该模型可以化为φ(L)(1 − L)

− µ) = θ(L)a

= θ(L)η

,其中η

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