Pólya-deBruijn计数定理是组合数学中的一个重要定理，由G.Pólya和N.G.de Bruijn分别独立提出，用于计算在置换群作用下等价类的数目。该定理在组合计数问题中有着广泛的应用。然而，屠规彰在研究纠错编码理论中的码字重量分布时发现了该定理在实际应用中存在局限性，具体表现在三个方面：第一，该定理仅给出整个集合的等价类个数，但在某些应用中我们需要计算某个子集的等价类个数；第二，定理只能给出等价类的个数，无法告诉我们每个等价类中含有多少个元素；第三，定理未能提供每个等价类的特征信息。
在这篇评注中，韩绍本从四川师范学院数学系出发，详细介绍了对Pólya-deBruijn计数定理局限性的研究工作。他首先定义了置换群G和H分别作用在集合D和R上的基本概念，并说明了置换群GxH在从D到R的所有映射集RD上的作用方式。通过这种方式，可以将RD划分为若干个互不相交的等价类。文章接着介绍了与Pólya-deBruijn计数定理相关的几个关键概念，包括置换的轮换式、置换群的轮换式以及权函数的定义等。
韩绍本还指出了三个主要局限性的具体问题和现有工作的进展情况。针对第一个局限性，即计算子集等价类个数的问题，G.Williamson提出了一些工作，但这一问题依旧困难复杂。第二个局限性，即每个等价类中元素数量的问题，韩绍本引用了多篇参考文献指出，尽管一些工作给出了部分回答，但问题在一般情况下仍未解决。第三个局限性，即刻画每个等价类的特征，文章中提到了F.Harary和E.Palmer等人对此进行的工作，以及通过赋予特殊权重以保持等价类不变的方法来推广定理。
文章通过定理1和定理2展现了计数公式的具体形式，并说明了这些公式的局限性。定理1通过多项式形式表达了等价类的数目，而定理2则仅是一个计数公式，没有提供等价类特征的刻画。文章还提到了对这些定理进行推广的研究尝试，例如通过平均权的思想来解决某些特定情况下的问题。
韩绍本指出寻找能够克服上述三个局限性的新公式将是一个非常有趣且重要的研究课题。这一部分评注也指出了未来可能的研究方向，包括在群G和H作用下，对具有不同“重量”的等价类进行计数的研究，以及通过算法工具解决特定情况下的问题等。
总结来说，Pólya-deBruijn计数定理虽然在理论上解决了群作用下等价类的计数问题，但在实际应用中仍有需要解决的局限性。韩绍本的文章详细阐述了这些问题并介绍了相关学者的研究进展，为后续研究提供了参考和启发。针对定理的推广和应用，特别是在编码理论、组合设计以及计算机科学等领域中，对这些局限性的深入研究和解决将为相关领域带来重要进展。
