Sine-Gordon方程是一种经典的非线性偏微分方程，广泛应用于物理学的不同领域中，例如凝聚态物理、粒子物理学以及非线性光学等。该方程的数学形式通常写作u_{xx} - u_{tt} = \sin(u)，其中u表示波函数，下标表示对变量的偏导数。
在本文中，作者刘震江和戴正德利用双孤子法和广田方法，得到了Sine-Gordon方程的双周期解和周期孤子解，并对解的奇性进行了研究。这里的“双周期解”指的是解的函数具有两个独立的周期变量；而“周期孤子解”则指的是在某种意义上是孤子解的周期延拓。
双孤子方法是求解非线性波动方程，特别是求解孤子方程的一种重要手段，可以用来构造非线性波动方程的精确解。广田方法（Hirota方法）是一种通过直接构造偏微分方程的精确多孤子解的手段，其核心思想是利用偏微分方程的 Hirota 双线性形式和Riccati方程等技巧，从而得到方程的精确解。
Sine-Gordon方程中，一个特别有趣的解是孤子解，孤子是一种波包，它在没有色散的情况下在非线性介质中传播时可以保持形状不变。Sine-Gordon方程的孤子解可以被理解为一种非线性波动，它在碰撞后能够保持其形状和速度不变，这是非线性物理领域中非常重要的一个性质。
“奇性”在数学和物理学中通常指的是函数或物理量在某些点或区域不连续或者无定义的行为。研究解的奇性对理解波动方程的物理意义至关重要，因为它可能与波的破碎或能量集中相关联，这在诸如波动撞击界面或发生碰撞时尤为重要。
本文所研究的周期孤立波解和周期孤子解的获取，不仅丰富了非线性偏微分方程的解的类型，而且对于理解非线性系统的动力学行为具有重要意义。此外，通过对这些解的奇性研究，可以更好地理解物理现象中的非线性效应，例如在孤子碰撞、传输介质非均匀性、边界条件不连续性等方面。
对于Sine-Gordon方程的研究，数学上提供了许多求解技巧，包括Bäcklund变换、逆散射方法、Darboux变换等。本文所使用的双孤子方法和广田方法，都是这些求解技巧中的有效工具。
文章指出，利用这两种方法所得到的解为物理现象的理论研究以及实际应用（如信号传输、孤子激光脉冲等）提供了重要的理论基础。Sine-Gordon方程的周期解与孤立波解的研究，不仅反映了非线性物理现象的丰富多样性，而且在数学物理方法论上也展现了求解非线性偏微分方程的深度和广度。
论文提到的基金项目支持，显示了国家自然科学基金和云南省自然科学基金对该研究领域的重视和扶持，也反映了此类基础科学研究的难度和复杂性，需要跨学科的深入研究和多方面的支持。论文作者刘震江和戴正德的工作，不仅为Sine-Gordon方程的研究增添了新的内容，也为非线性科学的发展做出了贡献。
