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吕林根, 许子道《解析几何》习题 4.7.5
叶卢庆
*
2014 年 11 月 19 日
题目. 求与两直线
x−6
3
=
y
2
=
z−1
1
与
x
3
=
y−8
2
=
z+4
−2
相交, 而且与平面 2x + 3y − 5 = 0 平行的直
线的轨迹.
解. 设直线为
x − p
1
λ
1
=
y − p
2
λ
2
=
z − p
3
λ
3
. (1)
由直线(1)与平面 2x + 3y − 5 平行可得
2λ
1
+ 3λ
2
= 0. (2)
直线(1)与直线
x−6
3
=
y
2
=
z−1
1
相交, 意味着
λ
1
λ
2
λ
3
3 2 1
p
1
− 6 p
2
p
3
− 1
= 0,
也即
(2p
3
− p
2
− 2)λ
1
+ (p
1
− 3p
3
− 3)λ
2
+ (3p
2
− 2p
1
+ 12)λ
3
= 0. (3)
式(3)结合式(2), 可得
λ
2
(2p
1
+ 3p
2
− 12p
3
) + λ
3
(6p
2
− 4p
1
+ 24) = 0. (4)
直线(1)与直线
x
3
=
y−8
2
=
z+4
−2
相交, 意味着
λ
1
λ
2
λ
3
3 2 −2
p
1
p
2
− 8 p
3
+ 4
= 0,
也即
(2p
3
+ 2p
2
− 8)λ
1
− (2p
1
+ 3p
3
+ 12)λ
2
+ (3p
2
− 2p
1
− 24)λ
3
= 0. (5)
式(5)结合式(2)可得
λ
2
(−6p
3
− 3p
2
− 2p
1
) + (3p
2
− 2p
1
− 24)λ
3
= 0. (6)
方程(4)和(6)联立表明
{
(3p
2
− 2p
1
)λ
3
= 6p
3
λ
2
,
−24λ
3
= (2p
1
+ 3p
2
)λ
2
.
显然 λ
2
= 0, 因此
9p
2
2
− 4p
2
1
+ 144p
3
= 0. (7)
于是, 直线的轨迹就是
9y
2
− 4x
2
+ 144z = 0.
*
叶卢庆 (1992—), 男, 杭州师范大学理学院数学与应用数学专业本科在读,E-mail:yeluqingmathematics@gmail.com
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