吕林根许子道《解析几何》习题4.7.51

《吕林根、许子道《解析几何》习题4.7.5》涉及的知识点主要集中在直线和平面的相互关系以及线性方程组的解法上。该习题要求求解一条特殊的直线，这条直线需满足三个条件：它与两条已知的直线相交；它与一个特定的平面平行。 1. **直线的参数表示**： 直线的一般参数形式为 `x = p1 + λ1 * d1`, `y = p2 + λ2 * d2`, `z = p3 + λ3 * d3`，其中 `(p1, p2, p3)` 是直线上任意一点的坐标，`(d1, d2, d3)` 是直线的方向向量，`(λ1, λ2, λ3)` 是参数。 2. **直线与平面平行**： 如果一条直线与平面平行，那么直线的方向向量必须是平面法向量的倍数。对于平面 `2x + 3y - 5 = 0`，其法向量为 `(2, 3, 0)`。因此，直线的参数方程中，方向向量 `(d1, d2, d3)` 必须满足 `2d1 + 3d2 = 0`。 3. **直线与直线相交**： 当两条直线相交时，它们的参数方程可以联立成线性方程组，解这个方程组可以找到交点。题目中的两条直线分别是 `x - 6 = 3λ1`, `y - 2 = 2λ2`, `z - 11 = λ3` 和 `x - 3 = λ1`, `y - 8 = 2λ2`, `z + 4 = -2λ3`。将这些方程与直线的参数方程联立，可以得到关于 λ 的方程。 4. **线性方程组的解**： 在解线性方程组的过程中，通过消元法或代入法找到 λ 的值。这里，通过将方程组简化，可以得到关于 λ1, λ2, λ3 的关系式，如 `(2p3 - p2 - 2)λ1 + (p1 - 3p3 - 3)λ2 + (3p2 - 2p1 + 12)λ3 = 0` 和 `(2p3 + 2p2 - 8)λ1 - (2p1 + 3p3 + 12)λ2 + (3p2 - 2p1 - 24)λ3 = 0`。 5. **方程组的解与轨迹方程**： 解出 λ2 和 λ3 关于 λ1 的关系后，可以进一步推导出 λ1 的表达式，从而得到直线的参数方程。通过参数方程和直线与平面平行的条件，可以找到 λ 的限制条件，这通常是一个二次曲线的方程，也就是直线的轨迹方程。在这个问题中，轨迹方程被确定为 `9y^2 - 4x^2 + 144z = 0`，这是一个双曲线方程。 6. **解的讨论**： 注意到解中 λ2 不能等于 0，这是因为如果 λ2 = 0，则无法保证直线与第二条直线相交，这与题目条件矛盾。所以 λ2 是非零的，这使得我们能够得出轨迹方程。 这个问题展示了解析几何中直线和平面的基本性质，以及如何通过线性方程组来研究它们的相互关系。解题过程涉及了参数方程的建立、线性方程组的求解和二次曲线的形成，这些都是解析几何和线性代数的基础内容。