吕林根许子道《解析几何》习题4.1.61

《解析几何》是数学中的一个重要领域，主要研究三维空间中曲线、曲面及其相互关系。在本题中，我们关注的是一个特殊的曲面——柱面，并需要证明该曲面的母线平行于特定的直线。 题目要求证明曲面F(xl - ym, ym - zn, zn - xl) = 0是一个柱面，且其母线平行于直线xl = ym = zn。我们需要理解柱面的一般定义：柱面是由一个平面上的动点沿一条直线移动所形成的曲面。这里的“动点”指的是平面内的点，而“直线”即为柱面的轴线。 为了证明曲面是柱面，我们需要展示曲面上的每一点都可以通过某个固定平面内的点沿着直线xl = ym = zn移动得到。已知点(x0, y0, z0)在曲面上，满足F(x0l - y0m, y0m - z0n, z0n - x0l) = 0。这是一个关于点(x0, y0, z0)和参数t的方程，其中t属于实数集R。 接下来，我们考虑曲面上的任意点P(x, y, z)。根据柱面的定义，存在一个平面内的点Q(x0, y0, z0)和参数t，使得P可以通过Q沿直线xl = ym = zn移动得到。为了找到这样的参数t，我们将点P的坐标代入曲面方程： F(xl - ym, ym - zn, zn - xl) = F((x - t)l - (y - mt)m, (y - mt)m - (z - nt)n, (z - nt)n - (x - t)l) = 0。 对比点(x0, y0, z0)的情况，我们可以看出，如果取t = (x - x0)/l, (y - y0)/m, (z - z0)/n，则有： x = x0 + tl, y = y0 + tm, z = z0 + tn。 这表明，点P(x, y, z)确实可以通过改变参数t得到，而这个t的表达式保证了移动路径沿直线xl = ym = zn。因此，曲面上的所有点都可以通过这种方式构建，从而证明了该曲面是一个柱面，其母线平行于直线xl = ym = zn。 题目的注释中提到了叶卢庆，他是一名杭州师范大学理学院数学与应用数学专业的学生，对解析几何有深入研究。他的E-mail地址也被提供，这可能意味着他在解决此类问题时愿意与其他数学爱好者交流讨论。 通过对曲面方程的分析和柱面定义的理解，我们成功地证明了给定曲面是一个柱面，且其母线与直线xl = ym = zn平行。这个问题展示了解析几何中对曲面性质的研究方法，以及如何利用参数方程来描述曲面上的点。