《吕林根、许子道《解析几何》习题3.7.11》涉及到的是直线与坐标轴的关系，特别是直线与x轴的关系。在这个问题中，我们关注的是直线方程的一般形式，即：
\[ A1x + B1y + C1z + D1 = 0 \]
\[ A2x + B2y + C2z + D2 = 0 \]
这些方程代表了空间中的两条直线。我们来逐一解析它们与x轴的关系：
1. **直线与x轴相交**：当直线与x轴相交时，意味着直线在x轴上有一个交点。这通常发生在y和z坐标都为0的情况下，即当 \( y = z = 0 \) 时，方程简化为仅关于x的一元一次方程。因此，直线与x轴相交的条件是：
\[ A1x + D1 = 0 \]
\[ A2x + D2 = 0 \]
这两个方程必须至少有一个有唯一解，即 \( A1 \) 和 \( A2 \) 至少有一个非零，并且不能同时为零，因为如果两者都为零，则表示两条直线都在x轴上，无法构成一个交点。
2. **直线与x轴平行**：若直线与x轴平行，这意味着它们在x方向上的分量相同，但在y和z方向上的分量成比例。因此，对于平行的直线，有：
\[ \frac{A1}{A2} = \frac{B1}{B2} = \frac{C1}{C2} \]
但这个比例关系并不影响它们与x轴的关系，因为即使比例相等，直线仍可能与x轴相交、重合或远离x轴。与x轴平行的特定条件是 \( D1/D2 \) 也等于上述的比例，且 \( A1, A2 \) 都不为零。
3. **直线与x轴重合**：若两条直线完全沿x轴延伸，那么它们的方程会变为：
\[ Ax + 0y + 0z + D = 0 \]
其中 \( A \neq 0 \)，而 \( B = C = 0 \)，并且 \( D \) 可以是任意值。因此，对于两条直线重合于x轴，我们需要 \( A1 = A2 \) 并且 \( B1 = B2 = C1 = C2 = 0 \)。
4. **直线与x轴相交，且当 \( y = z = 0 \) 时，\( x \) 有唯一解**：如前文所述，这个条件意味着 \( A1 \) 和 \( A2 \) 都不为零，而且 \( D1/A1 = D2/A2 \)，这样当 \( y = z = 0 \) 时，方程 \( A1x + D1 = 0 \) 和 \( A2x + D2 = 0 \) 各有一个唯一的解，这两解相等，所以 \( x \) 的值是确定的。
5. **直线的方向向量**：两条直线的法向量可以通过叉乘得到，即：
\[ (A1, B1, C1) × (A2, B2, C2) = (B1C2 - B2C1, A2C1 - A1C2, A1B2 - A2B1) \]
如果两条直线与x轴平行，那么它们的方向向量的x分量应为零，即 \( A2C1 - A1C2 = A1B2 - A2B1 = 0 \)。但要与x轴重合，还需要 \( B1C2 - B2C1 \neq 0 \) 以保证方向向量不为零。而与x轴相交则没有特定的方向向量条件。
6. **特殊情况**：当 \( D1, D2 \) 都不为零时，两条直线会在x轴上有一个公共点。如果 \( D1, D2 \) 全为零，这意味着两条直线都穿过原点，但是否与x轴重合还需考虑 \( A1, A2 \) 是否相等。
本习题探讨了直线与x轴的各种关系，包括相交、平行、重合，以及方向向量的计算，这些都是解析几何中基础且重要的概念。通过解决这些问题，我们可以更深入地理解空间直线的几何特性以及它们如何与坐标轴相互作用。
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