随机过程期末考题(2018.1.9)1

随机过程是概率论中的一个重要分支，它涉及到一系列随机变量的集合，这些变量通常在时间上有所关联。在本份期末考题中，涉及了多个随机过程及其相关概念，包括马尔可夫链、泊松过程、平稳分布、矩母函数、极限分布、状态分类等。 一、关于马尔可夫链： 题目中提到了不可约、有限状态的马尔可夫链，这类链的特征是任意两个状态间都有可能直接转换，且状态总数是有限的。问题涉及了马尔可夫链的平稳分布，即当系统运行足够长时间后，状态分布将达到一个稳定状态。对于双随机的转移概率矩阵（行和与列和均为1），马尔可夫链的平稳分布存在且唯一，即所有状态的概率比例保持不变。 二、关于泊松过程： 泊松过程是一种统计模型，用于描述在单位时间内随机事件发生次数的概率分布。题目中，汽车到达数是一个泊松过程，分别对应着不同颜色汽车的到达强度。计算第一辆车到达的平均时间、特定颜色汽车首先到达的概率以及在特定事件发生前的等待时间分布是泊松过程的基本应用。 三、马尔可夫链的应用： 这部分要求根据商品销售数据估计马尔可夫链的转移概率矩阵。销售状况的连续数据可以视为不同状态间的转移，通过统计分析，可以得出各个状态间转移的概率。 四、随机过程的矩母函数和相关统计量： 这里涉及的是到达某计数器的脉冲数，它们构成了一个速率λ的泊松过程。要求计算被记录脉冲数的矩母函数，以及期望值、方差和协方差，这是对随机过程统计特性的深入理解。 五、宽平稳过程： 题目中的随机过程X(t)=Acos(ωt+θ)，其中A服从瑞利分布，θ服从[0,2π]的均匀分布。宽平稳过程是指随机过程的均值和协方差仅依赖于时间差，而与时间点无关。需要证明这个过程是宽平稳的，并计算其功率谱密度函数，这是信号处理和通信领域中的常见问题。 六、功率谱密度函数： 试题考察了哪些函数可以作为平稳过程的功率谱密度，并要求计算相应的协方差函数。平稳过程的功率谱密度描述了频域内的能量分布，而遍历性则意味着在长时间内，过程的统计特性不会随时间改变。 总结来说，这份随机过程的期末考题涵盖了马尔可夫链的性质、泊松过程的应用、随机过程的矩母函数和统计特性、宽平稳过程的识别以及功率谱密度的相关知识，这些都是随机过程学习的核心内容。