2015-概率论与数理统计-期末答案1

在概率论与数理统计的学习中，这些题目涉及到了多个核心概念。我们来看填空题： 1. 设事件A和B满足\( P(A \cup B) = 0.7 \)，且\( P(A \cap B) = 0.5 \)，要求计算\( P(A \cap B') \)。由概率的基本公式，我们知道\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)，所以\( P(A) + P(B) = 0.7 + 0.5 = 1.2 \)，但由于概率不超过1，我们可以推断出\( P(A) = P(B) = 0.6 \)。因此，\( P(A \cap B') = P(A) - P(A \cap B) = 0.6 - 0.5 = 0.1 \)。 2. 随机变量X的概率密度函数为\( f_X(x) = e^{-x} \)，当\( x > 0 \)时，而\( f_Y(y) = f_X(e^y) \)，对于随机变量\( Y = e^X \)，其概率密度函数\( f_Y(y) \)为\( e^{-y} \)，因为\( y \)是\( X \)的指数函数。 3. 若随机变量X和Y的相关系数为0.5，且\( E(X) = 2, E(Y) = 2 \)，则\( Cov(X,Y) = 0.5 \cdot 2 \cdot 2 = 2 \)。所以，\( E(XY) = E(X)E(Y) + Cov(X,Y) = 4 + 2 = 6 \)。 4. 生产一个零件的时间\( X \)服从正态分布\( N(\mu, \sigma^2) \)，其中样本均值\( \bar{x} = 5.5 \)秒，样本标准差\( s = 1.73 \)秒，样本大小\( n = 25 \)，要求计算\( \mu \)的95%置信区间。对于正态分布，95%置信区间的公式是\( \bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \)，其中\( \alpha = 0.05 \)，\( t_{0.025, 24} = 2.0639 \)。因此，置信区间为\( (5.5 - 2.0639 \cdot \frac{1.73}{\sqrt{25}}, 5.5 + 2.0639 \cdot \frac{1.73}{\sqrt{25}}) \)。 5. 设随机变量X和Y独立，且都服从区间[0,3]上的均匀分布，要求计算\( P[\max(X, Y) \leq 1] \)。由于X和Y独立，这个概率等于\( P[X \leq 1] \cdot P[Y \leq 1] = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9} \)。 接下来是选择题： 1. 如果\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \)，则A和B互不相容，即事件A和B不会同时发生。但题目中给出的是\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)，这意味着A和B不是互不相容的，而是相互独立的，选项(C)正确。 2. 分布函数必须满足非负性、单调递增和\( F(\infty) = 1 \)、\( F(-\infty) = 0 \)。选项(B)符合这些条件，因此(B)是正确的分布函数。 3. 当样本量n足够大时，样本均值\( X \)近似服从正态分布，其期望值为总体均值\( \mu \)，方差为总体方差\( \sigma^2 \)除以n。因此，选项(D)正确，\( X \)近似服从\( t \)分布，自由度为n-1。 4. 切比雪夫不等式指出，对于任意随机变量X，有\( P(|X - E(X)| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2} \)，其中\( \sigma \)是X的标准差。对于随机变量\( X \sim U[0, 6] \)和\( Y \sim B(12, 0.5) \)，\( X - Y \)的期望和方差可以计算得到。利用切比雪夫不等式，我们可以得出\( P(|X - Y| \leq 3) \geq 1 - \frac{1}{3^2} = \frac{8}{9} \)，因此，\( P(X - Y > 3) + P(X - Y < -3) \leq \frac{1}{9} \)，选项(C)是正确的。 5. 在这个题目中，样本均值\( X \)和样本方差\( S^2 \)分别服从\( N(\mu, \sigma^2/n) \)和\( \chi^2_{n-1} \)分布。选项(D)正确地描述了\( X \)的分布，它服从\( t \)分布，自由度为n-1。 题目还涉及到乘法原理和条件概率的应用，例如，某人乘坐不同交通工具到达目的地的概率和误期到达时乘坐火车的概率。以及二维随机变量的边缘概率密度和独立性的判断，以及二维均匀分布的性质。这些知识点涵盖了概率论中的基本概念，如事件的关系与运算、概率分布、参数估计、统计推断和联合分布等。