第2次课堂练习题及参考解答1

【知识点详解】 1. 偏微分与多元积分： 在题目中，出现了求解偏导数的问题，如"(1) 已知yxxyz⎟⎠⎞⎜⎝⎛=，求)2,1(xz∂∂"，这涉及到偏微分的概念。在多元函数中，偏导数表示函数关于一个自变量的变化率，而保持其他自变量不变。这里要求的是在点(2,1)处，函数zyx关于xz的偏导数。 2. 对称性在积分中的应用： 描述中的第二题，要求求解积分∫∫−Ddxdyyx)(2，其中1:22≤+ yxD。通过观察，我们可以利用积分区域关于x轴的对称性简化计算，将原积分转化为∫∫Ddxdyyx，这样可以减少计算量。 3. 多元函数的积分与极坐标变换： 第三题中提到了函数)( xf是连续的，并给出了积分表达式，涉及到了多元函数的积分。在解决这类问题时，有时会利用极坐标变换简化计算，如"∫∫=uvdfd120)(ρρθ∫=udfv12)(ρρ"，将直角坐标系下的积分转换为极坐标系下的积分，以方便求解。 4. 泰勒公式与全微分： 题目中第四题提到，当函数zyx由方程)(22zyxzyx++=−+ϕ确定时，要求求解dz。这需要用到全微分的知识，通过求解二阶导数来确定dz的表达式。同时，还涉及到泰勒公式，通过二阶导数的信息可以推导出dz的表达式。 5. 约束优化问题： 第五题是典型的拉格朗日乘数法的应用，要求在约束条件22yxz+= 和4=++zyx下，求函数222zyxu++=的最大值和最小值。这类问题是线性约束下的非线性优化问题，通常需要构造拉格朗日函数并找到满足一阶必要条件的解。 6. 曲线的最远点和最近点： 最后一题，要求找到曲线C : ⎩⎨⎧=++=−+5302222zyxzyx上距离xoy平面最远和最近的点。这类问题可以通过建立距离函数，即曲线上点到平面距离的平方，然后用拉格朗日乘数法找到这个距离函数的最大值和最小值，从而确定最远点和最近点的位置。 综上，这些题目覆盖了多元微积分、偏微分、积分的对称性应用、极坐标变换、泰勒公式、全微分以及约束优化和几何最值问题等多个重要知识点，这些都是高等数学中的核心内容，对于理解和解决实际问题有着重要作用。