在本节的课后练习中,我们有两个主要任务,分别是使用阻尼牛顿法和牛顿-最速下降混合法来寻找目标函数的最小值。这两个方法是优化问题中的核心算法,广泛应用于机器学习、数据分析等领域。下面我们将详细讨论这两个算法的原理以及如何在编程中实现它们。
阻尼牛顿法(Damped Newton Method)是一种改良的牛顿法,旨在解决牛顿法可能遇到的局部极小值和不稳定性问题。在标准牛顿法中,我们通过迭代更新变量来寻找函数的极小值,更新公式为:
\[ x_{k+1} = x_k - \left[\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\right]^{-1}_k \cdot \frac{\partial f}{\partial x}_k \]
在阻尼牛顿法中,为了增加算法的收敛性和避免过大的步长,我们在更新规则中引入了一个阻尼因子γ(一般取0.5到1之间):
\[ x_{k+1} = x_k - \gamma_k \cdot \left[\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\right]^{-1}_k \cdot \frac{\partial f}{\partial x}_k \]
其中,\( \gamma_k \) 是根据当前迭代情况调整的因子,通常设置为 \( \min(1, \frac{|\nabla f|}{\|\nabla^2 f \cdot \nabla f|\sqrt{n}}) \),以确保步长不会过大。在练习中,我们需要实现这个算法,目标函数为 \( f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 4x_1x_2 + 4x_2x_3 + 4x_3x_1 \),并设定 \( ε=0.001 \) 作为收敛条件。
牛顿-最速下降混合法(Newton-GD Hybrid)结合了牛顿法和梯度下降法的优点,适用于处理非凸或者非光滑的问题。在每一步迭代中,它不仅考虑了函数的梯度信息,还利用了Hessian矩阵(二阶导数矩阵)的信息。其更新规则可以表示为:
\[ x_{k+1} = x_k - \alpha_k \cdot \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\right)^{-1}_k \cdot \frac{\partial f}{\partial x}_k + (1-\alpha_k) \cdot \frac{\partial f}{\partial x}_k \]
这里的 \( \alpha_k \) 是一个介于0和1之间的参数,通常通过线性搜索或者动态调整策略来确定,以平衡牛顿法的快速收敛和梯度下降法的稳定特性。在练习中,目标函数同样为上述函数,要求计算最小值,并提供相应的计算结果。
在编程实现这两个方法时,你需要编写源代码,并通过注释清晰地解释每一步操作。此外,记得在文档中展示计算结果,包括迭代次数、最优解以及最小值。文件命名应按照指定格式,最后按时提交给学习委员。
阻尼牛顿法和牛顿-最速下降混合法是优化问题中的重要算法,理解其原理并能熟练运用是IT专业人士的基本技能之一。通过这次课后练习,你将有机会深入理解这两种方法,并提升编程实现优化算法的能力。
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