在本节的课后练习中，我们有两个主要任务，分别是使用阻尼牛顿法和牛顿-最速下降混合法来寻找目标函数的最小值。这两个方法是优化问题中的核心算法，广泛应用于机器学习、数据分析等领域。下面我们将详细讨论这两个算法的原理以及如何在编程中实现它们。
阻尼牛顿法（Damped Newton Method）是一种改良的牛顿法，旨在解决牛顿法可能遇到的局部极小值和不稳定性问题。在标准牛顿法中，我们通过迭代更新变量来寻找函数的极小值，更新公式为：
\[ x_{k+1} = x_k - \left[\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\right]^{-1}_k \cdot \frac{\partial f}{\partial x}_k \]
在阻尼牛顿法中，为了增加算法的收敛性和避免过大的步长，我们在更新规则中引入了一个阻尼因子γ（一般取0.5到1之间）：
\[ x_{k+1} = x_k - \gamma_k \cdot \left[\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\right]^{-1}_k \cdot \frac{\partial f}{\partial x}_k \]
其中，\( \gamma_k \) 是根据当前迭代情况调整的因子，通常设置为 \( \min(1, \frac{|\nabla f|}{\|\nabla^2 f \cdot \nabla f|\sqrt{n}}) \)，以确保步长不会过大。在练习中，我们需要实现这个算法，目标函数为 \( f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 4x_1x_2 + 4x_2x_3 + 4x_3x_1 \)，并设定 \( ε=0.001 \) 作为收敛条件。
牛顿-最速下降混合法（Newton-GD Hybrid）结合了牛顿法和梯度下降法的优点，适用于处理非凸或者非光滑的问题。在每一步迭代中，它不仅考虑了函数的梯度信息，还利用了Hessian矩阵（二阶导数矩阵）的信息。其更新规则可以表示为：
\[ x_{k+1} = x_k - \alpha_k \cdot \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\right)^{-1}_k \cdot \frac{\partial f}{\partial x}_k + (1-\alpha_k) \cdot \frac{\partial f}{\partial x}_k \]
这里的 \( \alpha_k \) 是一个介于0和1之间的参数，通常通过线性搜索或者动态调整策略来确定，以平衡牛顿法的快速收敛和梯度下降法的稳定特性。在练习中，目标函数同样为上述函数，要求计算最小值，并提供相应的计算结果。
在编程实现这两个方法时，你需要编写源代码，并通过注释清晰地解释每一步操作。此外，记得在文档中展示计算结果，包括迭代次数、最优解以及最小值。文件命名应按照指定格式，最后按时提交给学习委员。
阻尼牛顿法和牛顿-最速下降混合法是优化问题中的重要算法，理解其原理并能熟练运用是IT专业人士的基本技能之一。通过这次课后练习，你将有机会深入理解这两种方法，并提升编程实现优化算法的能力。
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