2017春微积分I-2期末A卷试题及参考答案1
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2022-08-04
11:55:18
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参考答案
一一一、、、填填填空空空题题题：（每题Ｓ分，共ＲＱ分）
Ｑ、曲面 z = 2x
y
上点(1, 0, 2)处的切平面方程为 .
解：z
x
(1, 0) = 0，z
y
(1, 0) = 0，故切平面方程为z − 2 = 0Ｎ
Ｒ、 lim
x→0
y→0
20x
3
+ 17y
3
x
2
+ y
2
= .
解：lim
x→0
y→0
20x
3
+ 17y
3
x
2
+ y
2
= lim
ρ→0
+
ρ · (20 cos
3
θ + 17 sin
3
θ) = 0.
Ｓ、设 Ω为x
2
+ y
2
+ z
2
6 1，则
˝
Ω
(x
2
+ y
2
+ z
2
)dxdydz = .
解：原式=
´
2π
0
dθ
´
π
0
dϕ
´
1
0
r
2
· r
2
sin ϕdr = 2π · 2 ·
1
5
=
4
5
π.
Ｔ、设L是y = x
2
−1上从(0, −1)到(2, 3)的有向曲线，则
´
L
ydx + xdy = Ｎ
解：曲线积分与路径无关，选择折线l :(0, −1) −→ (2, −1) −→(2, 3)，
´
l
ydx + xdy = −
´
2
0
dx +
´
3
−1
2dy = −2 + 8 = 6Ｎ
另解：直接代入曲线方程，
´
L
ydx + xdy =
´
2
0
(x
2
− 1 + x · 2x)dx = 6.
Ｕ、设区域D是由y = x
2
与y = x围成的，则
˜
D
xydxdy=
.
解：
˜
D
xydxy =
´
1
0
dx
´
x
x
2
xydy =
´
1
0
1
2
(x
3
− x
5
)dx =
1
24
.
Ｖ、设曲线L的方程为x
2
+ y
2
= 1，则
¸
L
(x
2
+ 7y
2
)ds= .
解：由曲线L的对称性
¸
L
x
2
ds =
¸
L
y
2
ds，
∴
¸
L
(x
2
+ 7y
2
)ds = 4
¸
L
(x
2
+ y
2
)ds = 4
¸
L
ds = 8π.
Ｗ、微分方程 xy
0
+ y = x
2
满足y(3) = 4的特解为 .
解：∵ (xy)
0
= x
2
，xy =
1
3
x
3
+ C，由y(3) = 4可得：
12 = 9 + C，于是C = 3，∴ y =
1
3
x
2
+
3
x
.
Ｑ
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